Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=x e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 4y = x e^{2x}.
O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados, com passo inicial de encontrar a solução geral da homogênea e depois uma particular para a não-homogênea.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 4y' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0\quad\Longrightarrow\quad (r - 2)^2 = 0,
ou seja, raiz dupla r=2. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{2x}.

Passo 3

Para a parte particular usamos coeficientes indeterminados. O termo não-homogêneo é x e^{2x}. Como e^{2x} corresponde à raiz r=2 de multiplicidade 2, multiplicamos por x^2 o ansatz padrão para Q(x)e^{2x}. Assim propomos
y_p(x) = e^{2x}\bigl(Ax^3 + Bx^2\bigr).

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p. Se f(x)=Ax^3+Bx^2, então
y_p = e^{2x}f,\quad y_p' = e^{2x}(f' + 2f),\quad y_p'' = e^{2x}(f'' + 4f' + 4f).
Aqui
f' = 3Ax^2 + 2Bx,\quad f'' = 6Ax + 2B.
Logo, após organizar os termos em potências de x, obtemos
y_p'' = e^{2x}\bigl(4Ax^3 + (12A+4B)x^2 + (6A+8B)x + 2B\bigr),
y_p' = e^{2x}\bigl(2Ax^3 + (3A+2B)x^2 + 2Bx\bigr),
y_p = e^{2x}\bigl(Ax^3 + Bx^2\bigr).

Passo 5

Substituindo em y'' - 4y' + 4y temos
L[y_p] = e^{2x}\bigl(4Ax^3 + (12A+4B)x^2 + (6A+8B)x + 2B\bigr) -4\,e^{2x}\bigl(2Ax^3 + (3A+2B)x^2 + 2Bx\bigr) +4\,e^{2x}\bigl(Ax^3 + Bx^2\bigr).
Ao combinar termos iguais em x^3,x^2,x e constante, tudo cancela salvo
L[y_p] = e^{2x}\bigl(6A x + 2B\bigr).
Queremos L[y_p]=x e^{2x}, logo
6A = 1,\quad 2B = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac16,\;B=0.
Assim
y_p(x) = \tfrac{1}{6}x^3 e^{2x}.

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma de y_h e y_p:
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{2x} + \tfrac{1}{6}x^3 e^{2x}.

Resposta

y(x) = e^{2x}\Bigl(C_1 + C_2 x + \tfrac{1}{6}x^3\Bigr).

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