Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de
ordem com coeficientes constantes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados, com passo inicial de encontrar a solução geral da homogênea e depois uma particular para a não-homogênea.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
ou seja, raiz dupla
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte particular usamos coeficientes indeterminados. O termo não-homogêneo é
. Como
corresponde à raiz
de multiplicidade 2, multiplicamos por
o ansatz padrão para
. Assim propomos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Se
, então
Aqui
Logo, após organizar os termos em potências de
, obtemos
Passo 5
Substituindo em
temos
Ao combinar termos iguais em
e constante, tudo cancela salvo
Queremos
, logo
Assim
Passo 6
A solução geral da EDO é a soma de
e
: