Resolva as EDO’S de 2^{\mathrm{a}} ordem abaixo:
y^{\prime \prime}-y=e^{4} x

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem linear com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-y=e^{4x}.
Para resolver vamos usar o método de superposição: primeiro achamos a solução geral da homogênea pela equação característica e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

A homogênea associada é
y^{\prime\prime}-y=0.
Assumindo y_h=e^{rx}, vem a equação característica
r^2-1=0,
cuja soluções são r=\pm1. Logo
y_h=C_1e^{x}+C_2e^{-x}.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é e^{4x} e 4 não é raiz da característica, adotamos
y_p=Ae^{4x}.
Então
y_p' =4A e^{4x},\qquad y_p''=16A e^{4x}.
Substituindo em y^{\prime\prime}-y=e^{4x}:
16A e^{4x}-A e^{4x}=e^{4x} \;\Longrightarrow\; 15A e^{4x}=e^{4x} \;\Longrightarrow\; A=\tfrac1{15}.

Passo 4

A solução geral é
y(x)=y_h+y_p =C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\tfrac1{15}e^{4x}.

Resposta

y(x)=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\tfrac{1}{15}e^{4x}.

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