Questão 2: Seja B=\left(\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ -3 & 3 & 2 \\\\ 4 & 0 & -1\end{array}\right). Encontre os valores \lambda \in \mathbb{R} tais que \left(B-\lambda I_{3}\right) X=\overline{0} admita solução não-trivial. Exiba uma base do espaço solução para cada \lambda encontrado. B é diagonalizável?
e pede os valores de \lambda tais que (B - \lambda I_3)X = \overline{0} tenha solução não trivial (isto é, os autovalores), além de exibir uma base do espaço de autovetores para cada \lambda. Por fim, perguntar se B é diagonalizável. Vamos usar o cálculo do polinômio característico para achar os autovalores e depois resolver os sistemas lineares para cada \lambda.
Da primeira equação vem 4x=0\Rightarrow x=0. Da segunda,
4y + 2z = 0 \;\Longrightarrow\; z = -2y,
e a terceira é repetida. Assim
X = \begin{pmatrix}0\y\\\ -2y\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix},
logo uma base do espaço próprio de \lambda=-1 é
\bigl\{(0,1,-2)\bigr\}.
Passo 5
Para ser diagonalizável, a soma das dimensões geométricas dos espaços próprios deve ser igual a 3. Aqui a dimensão do espaço para \lambda=3 é 1 (embora sua multiplicidade algébrica seja 2) e para \lambda=-1 é 1, totalizando 2<3.
Resposta
Os autovalores reais são \lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=-1 (multiplicidade algébrica 1).
Bases dos respectivos espaços próprios:
para \lambda=3: \{(0,1,0)\},
para \lambda=-1: \{(0,1,-2)\}.
Como a soma das dimensões geométricas é 2<3, Bnão é diagonalizável.