Questão 5. Resolva os problemas de valor inicial:
  • ly^prime+(1-2 x) y=x e^-x y(0)=2
  • ly^prime-cos (t) y=t e^t^2+sen t y(0)=2
  • ly^prime+x^4 y=x^4 e^4 x^55 y(0)=1
  • ly^prime+2t y=cos tt^2 y(pi)=0, t>0

Passo 1

Temos quatro problemas de valor inicial de equações lineares de primeira ordem, do tipo y'+p(x)y=q(x). Para resolver cada um, vamos usar o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx, multiplicar a equação original por mu(x), reconhecer o lado esquerdo como ddx[mu(x)y] e depois integrar para achar y(x), aplicando a condição inicial no final.

Passo 2

Para o primeiro problema y'+(1-2x)y=x e^-x,;y(0)=2:
Calculemos
$$\mu(x)=e{\int(1-2x),dx}=e{x-x^2}.
mu(x)=e^integral(1-2x),dx=e^x-x^2 \frac{d}{dx}[e{x-x2}y]=x e{-x}e{x-x^2}=x e{-x2}.
mu(x)e{x-x2}y=\int x e{-x2},dx=-\tfrac12e{-x2}+C.
ddx[e^x-x^2y]=x e^-xe^x-x^2=x e^-x^2 y(x)=-\tfrac12e^{-x} + C e{x2-x}.
e^x-x^2y=integral x e^-x^2,dx=-tfrac12e^-x^2+C áy(x)=-\tfrac12e{-x}+\tfrac52e{x^2-x}.
$$

Passo 3

Para o segundo problema y'-cos t,y=t e^t^2+sin t,;y(0)=2:
Temos
$$\mu(t)=e^{\int(-\cos t),dt}=e^{-\sin t}.
mu(t)=e^integral(-cos t),dt=e^-sin t \frac{d}{dt}[e^{-\sin t}y]=t e{t2+\sin t}e^{-\sin t}=t e{t2}.
ddt[e^-sin ty]=t e^t^2+sin te^-sin t=t e^t^2 e^{-\sin t}y=\int t e{t2},dt=\tfrac12e{t2}+C.
e^-sin ty=integral t e^t^2,dt=tfrac12e^t^2+C y(t)=(\tfrac12e{t2}+C)e^{\sin t}.
y(t)=(tfrac12e^t^2+C)e^sin t ãy(t)=\bigl(\tfrac12e{t2}+\tfrac32\bigr)e^{\sin t}.
$$

Passo 4

Para o terceiro problema y'+x^4y=x^4e^4x^5/5,;y(0)=1:
Calculamos
$$\mu(x)=e^{\int x4,dx}=e{x^5/5}.
mu(x)=e^integral x^4,dx=e^x^5/5 \frac{d}{dx}[e{x5/5}y]=e{x5/5}\cdot x4e{4x5/5}=x4e{x5}.
ddx[e^x^5/5y]=e^x^5/5cdot x^4e^4x^5/5=x^4e^x^5 e{x5/5}y=\tfrac15e{x5}+C.
integral x^4e^x^5dx=tfrac15e^x^5+Cãy(x)=\tfrac15e{4x5/5}+Ce{-x5/5}.
e^x^5/5y=tfrac15e^x^5+C y(x)=\tfrac15e{4x5/5}+\tfrac45e{-x5/5}.
$$

Passo 5

Para o quarto problema y'+2ty=cos tt^2,;y(pi)=0,;t>0:
O fator integrante é
$$\mu(t)=e{\int2/t,dt}=t2.
mu(t)=e^integral2/t,dt=t^2 \frac{d}{dt}[t2y]=t2\cdot\frac{\cos t}{t^2}=\cos t.
ddt[t^2y]=t^2cdotcos tt^2=cos t t^2y=\int\cos t,dt=\sin t +C.
t^2y=integralcos t,dt=sin t +C y(t)=\frac{\sin t}{t2}+\frac{C}{t2}.
y(t)=sin tt^2+Ct^2 áy(t)=\frac{\sin t}{t^2}.
$$

Resposta

As soluções são:
  1. y(x)=-tfrac12e^-x+tfrac52e^x^2-x.
  2. y(t)=l(tfrac12e^t^2+tfrac32r)e^sin t.
  3. y(x)=tfrac15e^4x^5/5+tfrac45e^-x^5/5.
  4. y(t)=dfracsin tt^2.

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