• Questão 3. Use a Transformada de Laplace para resolver:
y^{\prime \prime}+y=\sin (t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
y'' + y = \sin(t),
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, usando Transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
\mathcal L\{y\}=Y(s) e a tabela \mathcal L\{\sin t\}=1/(s^2+1).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos
\bigl(s^2Y(s)-1\bigr) + Y(s) \;=\;\frac{1}{s^2+1}.

Passo 3

Agrupando termos em Y(s):
(s^2+1)\,Y(s) = 1 + \frac{1}{s^2+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{s^2+1} \;+\;\frac{1}{(s^2+1)^2}\,.

Passo 4

Agora invertemos a transformada de cada parcela. Sabemos que
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^2+1}\Bigr\} = \sin t.
Para a segunda parcela usamos a convolução
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s^2+1)^2}\Bigr\} = \int_{0}^{t}\sin\tau\,\sin(t-\tau)\,d\tau = \tfrac12\bigl(\sin t - t\cos t\bigr).
Portanto
y(t) = \sin t \;+\;\tfrac12\bigl(\sin t - t\cos t\bigr) = \tfrac32\,\sin t \;-\;\tfrac12\,t\cos t.

Resposta

y(t) = \frac{3}{2}\,\sin t \;-\;\frac{1}{2}\,t\cos t.

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