• Questão 4. Resolva com transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{t}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 2y' + y = e^{t}, \quad y(0)=1,\;y'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0), \quad \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
e \mathcal{L}\{e^t\}=1/(s-1).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
\bigl[s^2Y(s) - s\cdot1 - 0\bigr] -2\bigl[sY(s) - 1\bigr] + Y(s) = \frac{1}{s-1}.
Isso dá
s^2Y(s) - s -2sY(s) +2 + Y(s) = \frac{1}{s-1}.

Passo 3

Agrupando Y(s) e os termos constantes:
(s^2 - 2s + 1)\,Y(s) +(-s + 2) = \frac{1}{s-1}.
Como s^2-2s+1=(s-1)^2, temos
(s-1)^2Y(s) = \frac{1}{s-1} + s - 2.

Passo 4

Isolando Y(s):
Y(s) = \frac{\displaystyle \frac{1}{s-1} + s - 2}{(s-1)^2} = \frac{1}{(s-1)^3} + \frac{s-2}{(s-1)^2}.
Escrevendo s-2=(s-1)-1, obtemos
Y(s) = \frac{1}{(s-1)^3} + \frac{1}{s-1} - \frac{1}{(s-1)^2}.

Passo 5

Fazendo a transformada inversa em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s-1)^3}\Bigr\} = \frac{t^2}{2}\,e^t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s-1)^2}\Bigr\} = t\,e^t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-1}\Bigr\} = e^t.
Logo,
y(t) = \frac{t^2}{2}e^t \;+\; e^t \;-\; t\,e^t = e^t\Bigl(1 - t + \tfrac{t^2}{2}\Bigr).

Resposta

y(t) = e^t\Bigl(1 - t + \tfrac{t^2}{2}\Bigr).

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