Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
x^prime+(10-9) x=2 e^4 t, x(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial:
x^prime + (10 - 9) x = 2 e^4 t, x(0) = 0
Primeiro, vamos simplificar a equação:
x^prime + x = 2 e^4 t
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Vamos identificar os componentes da equação no formato padrão:
x^prime + P(t) x = Q(t)
Comparando com a nossa equação:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar a equação para torná-la mais fácil de resolver.

Passo 3

O fator integrante ( mu(t) = e^integral P(t) dt ) é calculado usando a fórmula:
mu(t) = e^integral 1 , dt = e^t
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^t x^prime + e^t x = 2 e^4 t e^t :
e^t x^prime + e^t x = 2 e^5 t
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddt ( e^t x ) = 2 e^5 t . Ou seja:
ddt ( e^t x ) = e^t x^prime + e^t x
Isso acontece porque:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação com relação a integral ddt ( e^t x ) dt = integral 2 e^5 t dt :
integral 2 e^5 t dt = 25 e^5 t + C
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^t x = 25 e^5 t + C , e a integral do lado direito é:
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver para x = 25 e^4 t + C e^-t dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Por fim, usamos a condição inicial 0 = 25 e^0 + C e^0 para encontrar a constante 0 = 25 + C :
C = -25
Simplificando:
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:
x(t) = 25 e^4 t - 25 e^-t

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