Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial:
Primeiro, vamos simplificar a equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Vamos identificar os componentes da equação no formato padrão:
Comparando com a nossa equação:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar a equação para torná-la mais fácil de resolver.
Passo 3
O fator integrante (
) é calculado usando a fórmula:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso acontece porque:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação com relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Por fim, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é: