Questão 2: Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais
\left\{\begin{array}{l}x_{1}{ }^{\prime}=2 x_{2}-x_{3} \\\ x_{2}{ }^{\prime}=x_{1}+x_{3} \\\ x_{3}{ }^{\prime}=x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}\end{array}\right.
x_{1}(0)=2, x_{2}(0)=-1 \text { e } x_{3}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a resolução do sistema linear de EDOs
\begin{cases} x_{1}'=2x_{2}-x_{3},\\\ x_{2}'=x_{1}+x_{3},\\\ x_{3}'=x_{1}-2x_{2}+3x_{3}, \end{cases}
com condições iniciais x_{1}(0)=2,\;x_{2}(0)=-1,\;x_{3}(0)=0.
Conteúdo: sistemas lineares com coeficientes constantes. Vamos usar o método de autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma \mathbf{x}'=A\mathbf{x}, onde
A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Procuramos os autovalores \lambda resolvendo \det(A-\lambda I)=0. Calcula-se
\det(A-\lambda I) =\begin{vmatrix} -\lambda & 2 & -1\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 1 & -2 & 3-\lambda \end{vmatrix} =-\lambda^3+3\lambda^2-\lambda-2=0
ou seja
\lambda^3-3\lambda^2+\lambda+2=0.
Testando \lambda=2 obtemos raiz; dividindo por \lambda-2 sobra \lambda^2-\lambda-1=0, cujas raízes são
\lambda_{1}=2,\quad \lambda_{2}=\frac{1+\sqrt5}{2},\quad \lambda_{3}=\frac{1-\sqrt5}{2}.

Passo 3

Para cada \lambda_i achamos um autovetor v_i tal que (A-\lambda_iI)v_i=0.
  • Para \lambda_{1}=2 obtemos v_{1}=(0,1,2)^{T}.
  • Para \lambda_{2}=(1+\sqrt5)/2 obtemos v_{2}=\bigl((\sqrt5-1)/2,\,1,\,1\bigr)^{T}.
  • Para \lambda_{3}=(1-\sqrt5)/2 obtemos v_{3}=\bigl(-(1+\sqrt5)/2,\,1,\,1\bigr)^{T}.

Passo 4

A solução geral é combinação linear das exponenciais:
\mathbf{x}(t) =C_{1}e^{2t}\,v_{1} +C_{2}e^{\frac{1+\sqrt5}{2}t}\,v_{2} +C_{3}e^{\frac{1-\sqrt5}{2}t}\,v_{3}.
Em componentes, escrevemos
\begin{cases} x_{1}(t) =C_{2}(\tfrac{\sqrt5-1}{2})\,e^{\frac{1+\sqrt5}{2}t} +C_{3}\bigl(-\tfrac{1+\sqrt5}{2}\bigr)\,e^{\frac{1-\sqrt5}{2}t},\\[6pt] x_{2}(t) =e^{2t}+C_{2}\,e^{\frac{1+\sqrt5}{2}t}+C_{3}\,e^{\frac{1-\sqrt5}{2}t},\\[6pt] x_{3}(t) =2\,e^{2t}+C_{2}\,e^{\frac{1+\sqrt5}{2}t}+C_{3}\,e^{\frac{1-\sqrt5}{2}t}. \end{cases}]

Passo 5

Impondo \mathbf{x}(0)=(2,-1,0)^{T} obtém-se o sistema linear para C_1,C_2,C_3. A solução é
C_{1}=1,\quad C_{2}=\frac{1-\sqrt5}{\sqrt5},\quad C_{3}=-\,\frac{1+\sqrt5}{\sqrt5}.

Passo 6

Substituindo C_{2},C_{3} e simplificando, obtemos as expressões finais:
x_{1}(t) =\frac{\sqrt5-3}{\sqrt5}\,e^{\frac{1+\sqrt5}{2}t} +\frac{3+\sqrt5}{\sqrt5}\,e^{\frac{1-\sqrt5}{2}t},
x_{2}(t) =e^{2t} +\Bigl(\tfrac{1-\sqrt5}{\sqrt5}\Bigr)e^{\frac{1+\sqrt5}{2}t} -\Bigl(\tfrac{1+\sqrt5}{\sqrt5}\Bigr)e^{\frac{1-\sqrt5}{2}t},
x_{3}(t) =2\,e^{2t} +\Bigl(\tfrac{1-\sqrt5}{\sqrt5}\Bigr)e^{\frac{1+\sqrt5}{2}t} -\Bigl(\tfrac{1+\sqrt5}{\sqrt5}\Bigr)e^{\frac{1-\sqrt5}{2}t}.

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} x_{1}(t) &=\frac{\sqrt5-3}{\sqrt5}\,e^{\tfrac{1+\sqrt5}{2}t} +\frac{3+\sqrt5}{\sqrt5}\,e^{\tfrac{1-\sqrt5}{2}t},\\\ x_{2}(t) &=e^{2t} +\frac{1-\sqrt5}{\sqrt5}\,e^{\tfrac{1+\sqrt5}{2}t} -\frac{1+\sqrt5}{\sqrt5}\,e^{\tfrac{1-\sqrt5}{2}t},\\\ x_{3}(t) &=2\,e^{2t} +\frac{1-\sqrt5}{\sqrt5}\,e^{\tfrac{1+\sqrt5}{2}t} -\frac{1+\sqrt5}{\sqrt5}\,e^{\tfrac{1-\sqrt5}{2}t}. \end{aligned} }

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