Questão 2: Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de equações diferenciais com coeficientes constantes
sujeito às condições iniciais
e
.
O método que vamos usar é o de autovalores e autovetores da matriz de coeficientes, recorrendo a vetor generalizado pois o autovalor será duplo.
O método que vamos usar é o de autovalores e autovetores da matriz de coeficientes, recorrendo a vetor generalizado pois o autovalor será duplo.
Passo 2
Formamos a matriz
e calculamos o polinômio característico
Logo o único autovalor é
com multiplicidade algébrica 2.]
Passo 3
Para
resolvemos
:
Escolhendo
obtemos o autovetor
Como só surgiu um autovetor, precisamos de um vetor generalizado
tal que
. Escrevendo
,
dá o sistema
.
Da segunda equação ; substituindo na primeira vemos que qualquer
satisfaz, então escolhemos
e
. Assim
Da segunda equação
Passo 4
A solução geral do sistema é
Aplicando as condições iniciais em
, isto é,
vemos que
e
. Portanto