Questão 2: Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais
\left\{\begin{array}{l}x_{1}{ }^{\prime}=3 x_{1}-4 x_{2} \\\ x_{2}{ }^{\prime}=x_{1}-x_{2}\end{array}\right.
x_{1}(0)=3 \text { e } x_{2}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de equações diferenciais com coeficientes constantes
\begin{cases} x_{1}' = 3\,x_{1} - 4\,x_{2},\\\ x_{2}' = x_{1} - x_{2}, \end{cases}
sujeito às condições iniciais x_{1}(0)=3 e x_{2}(0)=1.
O método que vamos usar é o de autovalores e autovetores da matriz de coeficientes, recorrendo a vetor generalizado pois o autovalor será duplo.

Passo 2

Formamos a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -4\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}
e calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & -4\\[6pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(-1-\lambda)+4 = \lambda^{2}-2\lambda+1 =(\lambda-1)^{2}.
Logo o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0:
\begin{pmatrix} 2 & -4\\\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\\ v_{2}\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad v_{1}=2\,v_{2}.
Escolhendo v_{2}=1 obtemos o autovetor
v=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
Como só surgiu um autovetor, precisamos de um vetor generalizado w tal que (A-I)w=v. Escrevendo w=(a,b)^{T},
\begin{pmatrix} 2 & -4\\\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}
dá o sistema \;2a-4b=2,\;a-2b=1.
Da segunda equação a=1+2b; substituindo na primeira vemos que qualquer b satisfaz, então escolhemos b=0 e a=1. Assim
w=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

A solução geral do sistema é
x(t) = C_{1}\,e^{t}\,v \;+\; C_{2}\,e^{t}\bigl(t\,v + w\bigr).
Aplicando as condições iniciais em x(0)=C_{1}v+C_{2}w=(3,1)^{T}, isto é,
\begin{pmatrix}2C_{1}+C_{2}\\[3pt]C_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix},
vemos que C_{1}=1 e C_{2}=1. Portanto
x(t)=e^{t}\bigl[v + (t\,v+w)\bigr] =e^{t}\begin{pmatrix}2+2t+1\\\ 1+t\end{pmatrix} =e^{t}\begin{pmatrix}3+2t\\\ 1+t\end{pmatrix}.]

Resposta

x_{1}(t)=(3+2t)e^{t}, \quad x_{2}(t)=(1+t)e^{t}.

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