(1.) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável tal que f^{\prime}(3)=9. Para g(x)=f\left(\sqrt[3]{x^{2}+2}\right), calcule g^{\prime}(5).

Passo 1

O enunciado diz que f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} é derivável e que f'(3)=9. Define-se
g(x)=f\bigl(\sqrt[3]{x^{2}+2}\bigr)
e pede-se g'(5). O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivação de funções compostas.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identificamos a função interna
h(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2}=(x^{2}+2)^{\tfrac{1}{3}}
e a função externa f. Assim,
g(x)=f\bigl(h(x)\bigr)
e a regra da cadeia afirma que
g'(x)=f'\bigl(h(x)\bigr)\,\cdot\,h'(x).

Passo 3

Vamos calcular h'(x). Usamos a derivada de u^{1/3} e a derivada de x^{2}+2:
h(x)=(x^{2}+2)^{\tfrac{1}{3}} \quad\Longrightarrow\quad h'(x)=\tfrac{1}{3}(x^{2}+2)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot 2x =\frac{2x}{3\,(x^{2}+2)^{\tfrac{2}{3}}}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=5:
  1. h(5)=(5^{2}+2)^{1/3}=(25+2)^{1/3}=27^{1/3}=3.
h'(5)=\frac{2\cdot5}{3\,(27)^{\tfrac{2}{3}}} =\frac{10}{3\cdot9} =\frac{10}{27}.

Passo 5

Finalmente, pela regra da cadeia,
g'(5)=f'\bigl(h(5)\bigr)\,\cdot\,h'(5) =f'(3)\,\cdot\,\frac{10}{27} =9\cdot\frac{10}{27} =\frac{90}{27} =\frac{10}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{10}{3}

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