Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
\frac{d x}{d t}=5 x+y, \quad \frac{d y}{d t}=-2 x+3 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares de coeficientes constantes
\frac{dx}{dt}=5x+y,\qquad \frac{dy}{dt}=-2x+3y.
O conteúdo necessário é o método de autovalores e autovetores para sistemas \mathbf{x}'=A\mathbf{x}.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma vetorial
\mathbf{x}'=A\,\mathbf{x},\quad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
com
A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[6pt]-2 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A impondo \det(A-\lambda I)=0:
\det\begin{pmatrix}5-\lambda & 1\\[3pt]-2 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(5-\lambda)(3-\lambda)+2 =\lambda^2-8\lambda+17.
As raízes são
\lambda = \frac{8\pm\sqrt{-4}}{2}=4\pm i.
]

Passo 4

Para \lambda_1=4+i, resolvemos (A-\lambda_1I)v=0:
\begin{pmatrix}5-(4+i)&1\\[3pt]-2&3-(4+i)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =\mathbf{0} \;\Longrightarrow\; (1-i)v_1+v_2=0 \;\Longrightarrow\; v=\begin{pmatrix}1\\\ -1+i\end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução complexa associada é
z(t)=v\,e^{(4+i)t} =\begin{pmatrix}1\\\ -1+i\end{pmatrix}e^{4t}(\cos t+i\sin t).
Extraímos as partes real e imaginária para obter duas soluções reais independentes:
\Re\,z(t) =e^{4t}\begin{pmatrix}\cos t\\\ -\,\cos t-\sin t\end{pmatrix}, \quad \Im\,z(t) =e^{4t}\begin{pmatrix}\sin t\\\;\cos t-\sin t\end{pmatrix}.

Passo 6

Assim, a solução geral real do sistema é
\mathbf{x}(t) =C_1\,e^{4t}\begin{pmatrix}\cos t\\\ -\,\cos t-\sin t\end{pmatrix} + C_2\,e^{4t}\begin{pmatrix}\sin t\\\;\cos t-\sin t\end{pmatrix},
ou, em componentes,
x(t)=e^{4t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr),\quad y(t)=e^{4t}\bigl(-C_1(\cos t+\sin t)+C_2(\cos t-\sin t)\bigr).

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} x(t)&=e^{4t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr),\\\ y(t)&=e^{4t}\bigl(-C_1(\cos t+\sin t)+C_2(\cos t-\sin t)\bigr), \end{aligned} }
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados