SEJA \vec{K}(x, y, z)=\left(h(z), x^{2} y, 1\right), ONDE h(z) EUMA FUNÇAO DE CLASSE C^{1} ES A SUPERFÍCIE z=4-x^{2}-y^{2}, (0 \leqslant z \leqslant 4).
CALCULE \int_{S} \vec{K} \cdot \overrightarrow{d S}, CONSIDERANDO A COMPONENTE ZDO CAMPO NORMAL A S GOMO POSITIVA.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo \vec{K}(x,y,z) = \bigl(h(z),\,x^2y,\,1\bigr)
pela superfície S dada por z = 4 - x^2 - y^2, com 0 \le z \le 4, orientada de modo que a componente z do vetor normal seja positiva.
Para resolver, vamos parametrizar S em termos de (x,y) e usar \displaystyle \iint_{S}\vec{K}\cdot d\vec S = \iint_{D} \vec{K}(r(x,y))\cdot \bigl(r_x\times r_y\bigr)\,dA,
onde D é o disco x^2+y^2\le4.