• Questão 5. Resolva com transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=\delta(t-\pi), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação diferencial com impulso
y'' + 2y' + 2y = \delta(t-\pi), \quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
O conteúdo aqui é usar a transformada de Laplace em EDOs lineares com forçamento dado por um delta de Dirac, aplicando também a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, com condições iniciais nulas, fica
\mathcal{L}\{y''\}+2\,\mathcal{L}\{y'\}+2\,\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{\delta(t-\pi)\}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, temos
s^2Y(s) + 2\,sY(s) + 2\,Y(s) = e^{-\pi s}.

Passo 3

Fatorando Y(s) no lado esquerdo:
Y(s)\bigl(s^2 + 2s + 2\bigr) = e^{-\pi s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{e^{-\pi s}}{s^2 + 2s + 2}.

Passo 4

Para inverter, escrevemos o denominador como
s^2 + 2s + 2 = (s+1)^2 + 1.
Sabemos que
\mathcal{L}\{e^{-t}\sin t\} = \frac{1}{(s+1)^2 + 1}.
Assim, sem considerar o fator de atraso e^{-\pi s}, a transformada inversa de \tfrac1{(s+1)^2+1} é e^{-t}\sin t.
Pela propriedade do deslocamento no tempo,
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{e^{-\pi s}F(s)\bigr\} = u(t-\pi)\,f(t-\pi),
onde f(t)=e^{-t}\sin t. Portanto
y(t) = u(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin\bigl(t-\pi\bigr).

Resposta

y(t) = u(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin\bigl(t-\pi\bigr).

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