• Questão 7. Resolva com transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=\cos (t), \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação diferencial
y'' + 5\,y' + 6\,y = \cos(t),
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1.
Para isso vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'\} = s\,Y(s) - y(0), \quad \mathcal{L}\{y''\} = s^2\,Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em toda a equação obtém-se
(s^2\,Y - s\,y(0) - y'(0)) + 5\,(s\,Y - y(0)) + 6\,Y = \frac{s}{s^2+1}.
Substituindo y(0)=2 e y'(0)=-1
(s^2\,Y - 2s +1) + 5(s\,Y - 2) + 6\,Y = \frac{s}{s^2+1}.

Passo 3

Agrupando os termos em Y e isolando em um lado, temos
(s^2 + 5s + 6)\,Y -2s +1 -10 = \frac{s}{s^2+1},
(s^2 + 5s + 6)\,Y = \frac{s}{s^2+1} + 2s + 9,
e como s^2+5s+6=(s+2)(s+3),
Y(s) = \frac{\displaystyle \frac{s}{s^2+1} + 2s + 9}{(s+2)(s+3)}.

Passo 4

Escrevemos
Y(s) = \frac{s}{(s^2+1)(s+2)(s+3)} + \frac{2s+9}{(s+2)(s+3)} \;=\; Y_1(s) + Y_2(s),
e faremos frações parciais separadamente em Y_2 e em Y_1.

Passo 5

Para
\displaystyle Y_2(s)=\frac{2s+9}{(s+2)(s+3)}
assume-se
\displaystyle \frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3},
de onde A=5, B=-3, logo
Y_2(s)=\frac{5}{s+2}-\frac{3}{s+3}.
Para
\displaystyle Y_1(s)=\frac{s}{(s^2+1)(s+2)(s+3)}
fazem-se frações parciais do tipo
\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{C}{s+2}+\frac{D}{s+3}
e obtêm-se
Y_1(s)=\frac{\tfrac{1}{10}(s+1)}{s^2+1} -\frac{2/5}{s+2} +\frac{3/10}{s+3}.
Somando Y_1+Y_2
Y(s) = \frac{1}{10}\,\frac{s+1}{s^2+1} +\frac{23/5}{s+2} -\frac{27/10}{s+3}.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa termo a termo, lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2+1)\}=\cos t e
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t, obtemos
y(t) = \frac{1}{10}\cos t + \frac{1}{10}\sin t + \frac{23}{5}e^{-2t} - \frac{27}{10}e^{-3t}.

Resposta

y(t) = \frac{1}{10}\cos t + \frac{1}{10}\sin t + \frac{23}{5}\,e^{-2t} - \frac{27}{10}\,e^{-3t}.

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