Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime}+2 y=f(t), y(0)=0, onde f(t)=\left\{\begin{array}{lr}t, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & t \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'(t) + 2\,y(t) = f(t),\quad y(0)=0,
onde
f(t)= \begin{cases} t, & 0 \le t < 1,\\\\ 0, & t \ge 1. \end{cases}
O conteúdo aqui é transformada de Laplace para equações lineares e o uso da função de Heaviside u(t-1) para tratar f(t) em pedaços.

Passo 2

Escrevemos f(t) usando a função degrau:
f(t) = t\,[1 - u(t-1)].
A transformada de Laplace de f(t) é
\mathcal L\{f\}(s) = \mathcal L\{t\}(s) - \mathcal L\{t\,u(t-1)\}(s).
Sabemos que
\mathcal L\{t\}(s) = \frac1{s^2},
e, aplicando o teorema do deslocamento,
\mathcal L\{t\,u(t-1)\}(s) = e^{-s}\,\mathcal L\{\,\tau+1\}(s) = e^{-s}\Bigl(\frac1{s^2} + \frac1{s}\Bigr).

Passo 3

Aplicando Laplace em y'(t)+2y(t)=f(t) e usando y(0)=0:
s\,Y(s) + 2\,Y(s) = \frac1{s^2} \;-\; e^{-s}\Bigl(\frac1{s^2} + \frac1{s}\Bigr),
logo
Y(s) = \frac{1/s^2}{s+2} \;-\; e^{-s}\,\frac{1/s^2 + 1/s}{s+2}.

Passo 4

Decompondo em frações parciais sem o fator e^{-s}:
\frac{1}{s^2(s+2)} = -\frac{1}{4}\,\frac1{s} \;+\;\frac12\,\frac1{s^2}\;+\;\frac14\,\frac1{s+2},
\frac{1}{s(s+2)} = \frac12\,\frac1{s} \;-\;\frac12\,\frac1{s+2}.
Assim
Y(s) = \Bigl(-\tfrac14\,\tfrac1{s} + \tfrac12\,\tfrac1{s^2} + \tfrac14\,\tfrac1{s+2}\Bigr) - e^{-s}\,\Bigl(\tfrac14\,\tfrac1{s} + \tfrac12\,\tfrac1{s^2} - \tfrac14\,\tfrac1{s+2}\Bigr).

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo, lembrando que
\mathcal L^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal L^{-1}\{1/s^2\}=t,
\mathcal L^{-1}\{1/(s+2)\}=e^{-2t} e o fator e^{-s} introduz u(t-1) e troca t por t-1:
y(t) = \Bigl(-\tfrac14 + \tfrac12\,t + \tfrac14\,e^{-2t}\Bigr) - u(t-1)\,\Bigl(\tfrac14 + \tfrac12\,(t-1) - \tfrac14\,e^{-2(t-1)}\Bigr).

Passo 6

Isolando os dois intervalos:
Para 0 \le t < 1, u(t-1)=0, então
y(t) = -\tfrac14 + \tfrac12\,t + \tfrac14\,e^{-2t}.
Para t \ge 1, u(t-1)=1, e nota-se que os termos em t e constantes se cancelam, sobrando
y(t) = \frac{1+e^2}{4}\,e^{-2t}.

Resposta

Para 0 \le t < 1:
y(t) = -\tfrac14 + \tfrac12\,t + \tfrac14\,e^{-2t},
para t \ge 1:
y(t) = \frac{1+e^2}{4}\,e^{-2t}.

Exercícios relacionados