Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. y^{\prime}+2 y=f(t), y(0)=0, onde f(t)=\left\{\begin{array}{lr}t, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & t \geq 1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'(t) + 2\,y(t) = f(t),\quad y(0)=0,
onde
f(t)= \begin{cases} t, & 0 \le t < 1,\\\\ 0, & t \ge 1. \end{cases}
O conteúdo aqui é transformada de Laplace para equações lineares e o uso da função de Heaviside u(t-1) para tratar f(t) em pedaços.
Aplicando a transformada inversa termo a termo, lembrando que \mathcal L^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal L^{-1}\{1/s^2\}=t, \mathcal L^{-1}\{1/(s+2)\}=e^{-2t} e o fator e^{-s} introduz u(t-1) e troca t por t-1: