Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+4 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=-1, onde
f(t)=\left\{\begin{array}{lr} 1, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & t \geq 1 \end{array}\right.

Passo 1

O problema é o seguinte:
Temos a equação diferencial
y'' + 4y = f(t),
com condições iniciais y(0)=0\) e \(y'(0)=-1\), em que \[f(t)= \begin{cases} 1,&0\le t<1,\\\\ 0,&t\ge1. \end{cases}
Vamos usar transformada de Laplace e a representação de (f(t)] por funções degrau.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace à equação, lembrando que
L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)+1,
e L\{y\}=Y(s), obtemos
\bigl(s^2Y(s)+1\bigr)+4Y(s)=L\{f\}(s),
logo
Y(s)=\frac{L\{f\}(s)-1}{s^2+4}.
Como
f(t)=u(t)-u(t-1),
temos
L\{f\}(s)=\frac1s-\frac{e^{-s}}s.
Portanto
Y(s) =\frac{\tfrac1s-1-\tfrac{e^{-s}}s}{s^2+4} =\frac{1-s-e^{-s}}{s\,(s^2+4)} =\frac{1-s}{s\,(s^2+4)}-\frac{e^{-s}}{s\,(s^2+4)}.

Passo 3

Primeiro invertemos
\frac{1-s}{s\,(s^2+4)}.
Fazendo frações parciais:
\frac{1-s}{s(s^2+4)} =\frac{1/4}{s}+\frac{-\tfrac14s-1}{s^2+4} =\frac1{4s}+\frac{-s/4-1}{s^2+4}.
Invertendo termo a termo:
L^{-1}\Bigl(\frac1{4s}\Bigr)=\tfrac14,\quad L^{-1}\Bigl(-\tfrac{s}{4(s^2+4)}\Bigr)=-\tfrac14\cos(2t),\quad L^{-1}\Bigl(-\tfrac1{s^2+4}\Bigr)=-\tfrac12\sin(2t).
Assim definimos
y_1(t)=\frac14-\frac14\cos(2t)-\frac12\sin(2t).

Passo 4

Agora tratamos a parte
\frac{e^{-s}}{s(s^2+4)} =e^{-s}\,\frac1{s(s^2+4)}.
Primeiro façamos frações parciais em
\frac1{s(s^2+4)} =\frac1{4s}+\frac{-s/4}{s^2+4}.
Invertendo,
g(t)=L^{-1}\Bigl(\frac1{s(s^2+4)}\Bigr) =\frac14-\frac14\cos(2t).
Pela propriedade do deslocamento,
L^{-1}\Bigl(\frac{e^{-s}}{s(s^2+4)}\Bigr) =u(t-1)\,g(t-1) =u(t-1)\Bigl(\frac14-\frac14\cos\bigl(2(t-1)\bigr)\Bigr).
Chamamos isso de y_2(t).

Passo 5

A solução completa é
y(t)=y_1(t)-y_2(t) =\frac14-\frac14\cos(2t)-\frac12\sin(2t) -u(t-1)\Bigl(\frac14-\frac14\cos\bigl(2(t-1)\bigr)\Bigr).
Em forma de casos:
para 0\le t<1, u(t-1)=0 e
y(t)=\frac14-\frac14\cos(2t)-\frac12\sin(2t).
para t\ge1,
y(t) =\frac14-\frac14\cos(2t)-\frac12\sin(2t) -\Bigl(\frac14-\frac14\cos\bigl(2(t-1)\bigr)\Bigr).

Resposta

Para 0\le t<1:
y(t)=\frac14-\frac14\cos(2t)-\frac12\sin(2t),
para t\ge1:
y(t) =\frac14-\frac14\cos(2t)-\frac12\sin(2t) -\frac14+\frac14\cos\bigl(2(t-1)\bigr).

Exercícios relacionados