Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
, onde
Passo 1
O problema é o seguinte:
Temos a equação diferencial
Temos a equação diferencial
com condições iniciais
Vamos usar transformada de Laplace e a representação de (f(t)] por funções degrau.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace à equação, lembrando que
e
, obtemos
logo
Como
temos
Portanto
Passo 3
Primeiro invertemos
Fazendo frações parciais:
Invertendo termo a termo:
Assim definimos
Passo 4
Agora tratamos a parte
Primeiro façamos frações parciais em
Invertendo,
Pela propriedade do deslocamento,
Chamamos isso de
.
Passo 5
A solução completa é
Em forma de casos:
para ,
e
para
para
,
Resposta
Para
:
para
: