Questão 9:
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
Supondo que inicialmente o capacitor esteja descarregado e que não haja corrente no circuito, isto é,
Q(0)=0, \quad Q^{\prime}(0)=0,
determine a carga Q(t) e a corrente I(t)=Q^{\prime}(t).
(c) y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=x e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea e pede determinar a solução que satisfaz condições iniciais (capacitor inicialmente descarregado, sem corrente), que aqui vamos escrever como:
y''+2y'+y = x e^{-x}, \qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Perguntas explícitas: determinar y(t) (a carga Q(t) no texto) e a corrente I(t)=y'(t). Lista das informações relevantes dadas:
  • Equação diferencial: \;y''+2y'+y = x e^{-x}.
  • Condições iniciais: \;y(0)=0 e \;y'(0)=0.
  • O termo forçante é do tipo polinômio vezes exponencial: \;x e^{-x}.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada:
y_h''+2y_h'+y_h=0.
Usamos o método do polinômio característico: assumimos y_h=e^{rx} e obtemos
r^2+2r+1=0.
Resolvendo,
(r+1)^2=0\quad\Rightarrow\quad r=-1
com multiplicidade 2. Para uma raiz real de multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é
y_h=(C_1+C_2 x)e^{-x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Explicação curta: a segunda solução independente é x e^{-x} porque a raíz é dupla.

Passo 3

Explicar o método dos coeficientes indeterminados (didaticamente, sem pular etapas):
  • Quando o segundo membro tem a forma P(x)e^{\alpha x}, com P(x) polinômio, tenta-se uma solução particular da forma x^s Q(x)e^{\alpha x}, onde Q(x) é polinômio de mesmo grau que P e s é o multiplicador que compensa se \alpha for raiz do polinômico característico.
  • Aqui o segundo membro é P(x)e^{\alpha x} com P(x)=x (grau 1) e \alpha=-1.
  • Como \alpha=-1 é raiz do característico com multiplicidade 2, devemos escolher s=2.
  • Logo a tentativa para a particular será da forma
y_p = x^2 (A x + B) e^{-x},
onde A e B são coeficientes indeterminados a encontrar.

Passo 4

Escrevemos explicitamente
y_p = x^2 (A x + B) e^{-x} = e^{-x}\bigl(A x^3 + B x^2\bigr).
Para encontrar A,B precisamos calcular y_p' e y_p'' e substituir na equação.

Passo 5

Calcular y_p'. Seja U(x)=A x^3 + B x^2, então y_p=e^{-x}U(x). Usando a regra do produto:
y_p' = e^{-x}(-U) + e^{-x} U' = e^{-x}\bigl(-U+U'\bigr).
Calcule U':
U'(x) = 3A x^2 + 2B x.
Portanto
y_p' = e^{-x}\bigl( - (A x^3 + B x^2) + 3A x^2 + 2B x \bigr).
Simplificando dentro do colchete:
y_p' = e^{-x}\bigl( -A x^3 + (3A-B) x^2 + 2B x \bigr).

Passo 6

Calcular y_p''. Denote S(x) = -A x^3 + (3A-B) x^2 + 2B x, então y_p' = e^{-x} S. Novamente, por produto,
y_p'' = e^{-x}(-S) + e^{-x} S' = e^{-x}\bigl(-S + S'\bigr).
Calcule S'(x):
S'(x) = -3A x^2 + 2(3A-B) x + 2B = -3A x^2 + (6A-2B) x + 2B.
Agora
y_p'' = e^{-x}\Bigl( -\bigl(-A x^3 + (3A-B) x^2 + 2B x\bigr) + \bigl(-3A x^2 + (6A-2B) x + 2B\bigr)\Bigr).
Simplificando termo a termo:
y_p'' = e^{-x}\bigl( A x^3 + (-6A+B) x^2 + (6A-4B) x + 2B \bigr).

Passo 7

Agora substituímos y_p'',\,y_p',\,y_p em y''+2y'+y. Como todos têm fator comum e^{-x}, podemos dividir por e^{-x} e trabalhar apenas com os polinômios:
  • y_p'' fornece A x^3 + (-6A+B) x^2 + (6A-4B) x + 2B.
  • 2y_p' fornece 2\bigl(-A x^3 + (3A-B) x^2 + 2B x\bigr) = -2A x^3 + (6A-2B) x^2 + 4B x.
  • y_p fornece A x^3 + B x^2.
Somando:
y_p''+2y_p'+y_p = e^{-x}\bigl( \underbrace{A -2A + A}_{x^3\text{ coef}}\,x^3 + \underbrace{(-6A+B)+(6A-2B)+B}_{x^2\text{ coef}}\,x^2 + \underbrace{(6A-4B)+4B}_{x\text{ coef}}\,x + \underbrace{2B}_{\text{const}}\bigr).
Calculando os coeficientes:
  • coeficiente de x^3: A-2A+A=0.
  • coeficiente de x^2: (-6A+B)+(6A-2B)+B=0.
  • coeficiente de x: (6A-4B)+4B = 6A.
  • termo constante: 2B.
Logo
y_p''+2y_p'+y_p = e^{-x}\bigl(6A x + 2B\bigr).

Passo 8

Impor que isso seja igual ao segundo membro x e^{-x}. Assim, igualando os polinômios (dividindo por e^{-x}):
6A x + 2B = x.
Comparando coeficientes do polinômio à direita ( 1\cdot x + 0):
6A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{1}{6},
2B = 0 \quad\Rightarrow\quad B=0.
Portanto a solução particular é
y_p = x^2\bigl(Ax+B\bigr)e^{-x} = \dfrac{1}{6} x^3 e^{-x}.

Passo 9

Escrever a solução geral e aplicar condições iniciais. A solução geral é
y(x) = y_h + y_p = (C_1 + C_2 x)e^{-x} + \dfrac{1}{6} x^3 e^{-x} = e^{-x}\Bigl(C_1 + C_2 x + \dfrac{1}{6}x^3\Bigr).
Aplicando y(0)=0:
y(0)=e^{0}\Bigl(C_1 + 0 + 0\Bigr)=C_1=0.
Agora y'(x)= derive y. Usando y=e^{-x}U(x) com U(x)=C_1 + C_2 x + \tfrac{1}{6}x^3, temos
y' = e^{-x}(-U+U').
Com C_1=0, U(x)=C_2 x + \tfrac{1}{6}x^3 e U'(x)=C_2 + \tfrac{1}{2}x^2. Então
y'(0)=e^{0}\bigl(-U(0)+U'(0)\bigr)= -0 + (C_2 + 0)=C_2.
Como y'(0)=0, obtemos C_2=0.
Logo as constantes homogêneas são nulas e a solução que satisfaz as condições iniciais é simplesmente
y(x) = \dfrac{1}{6} x^3 e^{-x}.

Passo 10

Calcular a corrente I(x)=y'(x). Partimos de y(x)=\dfrac{1}{6} x^3 e^{-x}. Usando produto/chain:
y' = e^{-x}\Bigl(\dfrac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{6}x^3\bigr)\Bigr) + \bigl(\tfrac{1}{6}x^3\bigr)\dfrac{d}{dx}(e^{-x}) = e^{-x}\Bigl(\tfrac{1}{2}x^2\Bigr) - e^{-x}\Bigl(\tfrac{1}{6}x^3\Bigr).
Colocando em evidência:
y'(x)=e^{-x}\Bigl(\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{6}x^3\Bigr) = e^{-x}\dfrac{x^2}{6}\bigl(3 - x\bigr).

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{6}x^3 e^{-x}
I(x)=y'(x)=e^{-x}\dfrac{x^2}{6}\bigl(3-x\bigr)

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