Questão 9:
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
Supondo que inicialmente o capacitor esteja descarregado e que não haja corrente no circuito, isto é,
Q(0)=0, \quad Q^{\prime}(0)=0,
determine a carga Q(t) e a corrente I(t)=Q^{\prime}(t).
(c) y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=x e^{-x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea e pede determinar a solução que satisfaz condições iniciais (capacitor inicialmente descarregado, sem corrente), que aqui vamos escrever como:
y''+2y'+y = x e^{-x}, \qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Perguntas explícitas: determinar y(t) (a carga Q(t) no texto) e a corrente I(t)=y'(t). Lista das informações relevantes dadas:
Equação diferencial: \;y''+2y'+y = x e^{-x}.
Condições iniciais: \;y(0)=0 e \;y'(0)=0.
O termo forçante é do tipo polinômio vezes exponencial: \;x e^{-x}.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada:
y_h''+2y_h'+y_h=0.
Usamos o método do polinômio característico: assumimos y_h=e^{rx} e obtemos
r^2+2r+1=0.
Resolvendo,
(r+1)^2=0\quad\Rightarrow\quad r=-1
com multiplicidade 2. Para uma raiz real de multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é
y_h=(C_1+C_2 x)e^{-x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Explicação curta: a segunda solução independente é x e^{-x} porque a raíz é dupla.
Passo 3
Explicar o método dos coeficientes indeterminados (didaticamente, sem pular etapas):
Quando o segundo membro tem a forma P(x)e^{\alpha x}, com P(x) polinômio, tenta-se uma solução particular da forma x^s Q(x)e^{\alpha x}, onde Q(x) é polinômio de mesmo grau que P e s é o multiplicador que compensa se \alpha for raiz do polinômico característico.
Aqui o segundo membro é P(x)e^{\alpha x} com P(x)=x (grau 1) e \alpha=-1.
Como \alpha=-1 é raiz do característico com multiplicidade 2, devemos escolher s=2.
Logo a tentativa para a particular será da forma
y_p = x^2 (A x + B) e^{-x},
onde A e B são coeficientes indeterminados a encontrar.
Passo 4
Escrevemos explicitamente
y_p = x^2 (A x + B) e^{-x} = e^{-x}\bigl(A x^3 + B x^2\bigr).
Para encontrar A,B precisamos calcular y_p' e y_p'' e substituir na equação.
Passo 5
Calcular y_p'. Seja U(x)=A x^3 + B x^2, então y_p=e^{-x}U(x). Usando a regra do produto:
y_p'' = e^{-x}\bigl( A x^3 + (-6A+B) x^2 + (6A-4B) x + 2B \bigr).
Passo 7
Agora substituímos y_p'',\,y_p',\,y_p em y''+2y'+y. Como todos têm fator comum e^{-x}, podemos dividir por e^{-x} e trabalhar apenas com os polinômios:
y_p'' fornece A x^3 + (-6A+B) x^2 + (6A-4B) x + 2B.