Questão 3 - Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos dividir o trabalho em achar a solução complementar (homogênea) e depois uma solução particular para o termo forçante
.
Passo 2
Começamos pela solução homogênea associada:
A equação característica é
cuja raízes são
e
. Portanto a solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
de
O termo do lado direito é um polinômio de grau
. Em princípio tentaríamos
Porém, como a solução homogênea já contém a função constante (
), há ressonância com o termo de grau zero. Nesse caso multiplicamos o polinômio por
, isto é,
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Isso deve ser igual a
. Comparando coeficientes:
Logo
Passo 5
A solução geral da equação é a soma da parte homogênea com a particular: