Questão 3 - Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=-12 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 3y' = -12\,t
usando o método dos coeficientes indeterminados. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos dividir o trabalho em achar a solução complementar (homogênea) e depois uma solução particular para o termo forçante -12t.

Passo 2

Começamos pela solução homogênea associada:
y'' - 3y' = 0.
A equação característica é
r^2 - 3r = r(r-3) = 0,
cuja raízes são r=0 e r=3. Portanto a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 + C_2 e^{3t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p de
y'' - 3y' = -12t.
O termo do lado direito é um polinômio de grau 1. Em princípio tentaríamos
y_p = \alpha t + \beta.
Porém, como a solução homogênea já contém a função constante ( r=0), há ressonância com o termo de grau zero. Nesse caso multiplicamos o polinômio por t, isto é,
y_p(t) = \alpha t^2 + \beta t.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
y_p' = 2\alpha t + \beta, \qquad y_p'' = 2\alpha.
Substituindo em y''-3y':
y_p'' - 3y_p' = 2\alpha \;-\;3\bigl(2\alpha t + \beta\bigr) = -6\alpha\,t + (2\alpha - 3\beta).
Isso deve ser igual a -12t + 0. Comparando coeficientes:
-6\alpha = -12 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 2,
2\alpha - 3\beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4 - 3\beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \tfrac{4}{3}.
Logo
y_p(t) = 2\,t^2 + \tfrac{4}{3}\,t.

Passo 5

A solução geral da equação é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = C_1 + C_2 e^{3t} + 2\,t^2 + \tfrac{4}{3}\,t.

Resposta

y(t) = C_1 + C_2 e^{3t} + 2\,t^2 + \tfrac{4}{3}\,t.

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