Questão 3 - Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}=-6 \cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes indeterminados, a equação
y'' - 9y' = -6\cos(3x).
Aqui o conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes; precisamos encontrar primeiro a solução da homogênea e depois um particular adequado.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 9y' = 0.
A equação característica é
r^2 - 9r = 0
cuja solução dá
r\,(r - 9) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 0,\;9.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 + C_2 e^{9x}.

Passo 3

Para buscar uma solução particular y_p ao termo -6\cos(3x), escolhemos o ansatz
y_p = A\cos(3x) + B\sin(3x).
Calculamos
y_p' = -3A\sin(3x) + 3B\cos(3x),
y_p'' = -9A\cos(3x) -9B\sin(3x).
Substituindo em y''-9y':
y_p'' - 9y_p' = \bigl(-9A\cos(3x)-9B\sin(3x)\bigr) -9\bigl(-3A\sin(3x)+3B\cos(3x)\bigr)
= (-9A - 27B)\cos(3x) + (27A - 9B)\sin(3x).

Passo 4

Queremos que
(-9A - 27B)\cos(3x) + (27A - 9B)\sin(3x) \equiv -6\cos(3x) + 0\cdot\sin(3x).
Isso gera o sistema
\begin{cases} -9A - 27B = -6,\\\\ 27A - 9B = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem 27A = 9B, ou seja B = 3A. Substituindo na primeira:
-9A - 27\,(3A) = -6 \;\Longrightarrow\; -9A -81A = -6 \;\Longrightarrow\; -90A = -6 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac{1}{15},
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B = 3A = \tfrac{3}{15} = \tfrac{1}{5}.

Passo 5

A solução particular é
y_p(x) = \tfrac{1}{15}\cos(3x) + \tfrac{1}{5}\sin(3x),
e a solução geral da equação original fica
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 e^{9x} + \tfrac{1}{15}\cos(3x) + \tfrac{1}{5}\sin(3x).

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 + C_2 e^{9x} + \frac{1}{15}\cos(3x) + \frac{1}{5}\sin(3x).}

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