Questão 3 - Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=10 x^{2}-3 x-3

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver, pelo método dos coeficientes indeterminados, a EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 5y = 10x^2 - 3x - 3.
Conteúdo: solução geral de EDO linear, parte homogênea e particular por “chute” de polinômio.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea
y'' - 2y' + 5y = 0.
O polinômio característico é
r^2 - 2r + 5 = 0,
cuja solução é
r = 1 \pm 2i.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para
10x^2 - 3x - 3.
Como o lado direito é polinomial de grau 2 e zero não é raiz da característica, tentamos
y_p(x) = Ax^2 + Bx + C.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p e substituímos na EDO:
y_p' = 2Ax + B,\quad y_p'' = 2A.
Substituindo em y''-2y'+5y:
y_p'' - 2y_p' + 5y_p = 2A - 2(2Ax + B) + 5(Ax^2 + Bx + C).
Simplificando,
=5A\,x^2 + (-4A + 5B)\,x + (2A - 2B + 5C).
Igualando a 10x^2 -3x -3 dá o sistema
\begin{cases} 5A = 10,\\\\ -4A + 5B = -3,\\\\ 2A - 2B + 5C = -3. \end{cases}
Resolvendo obtemos
A = 2,\quad B = 1,\quad C = -1,
isto é
y_p(x) = 2x^2 + x - 1.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr) + 2x^2 + x - 1.

Resposta

y(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr) + 2x^2 + x - 1.

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