Seja a equação seguinte :
a. Provar que a função
, definida por
para todo
, é uma solução particular da equação
.
b. Resolver a equação
em
.
b. Resolver a equação
Passo 1
Temos a equação diferencial de segunda ordem
que é uma EDO linear homogênea de 2ª ordem. O conteúdo é resolução de EDOs lineares de 2ª ordem usando redução de ordem. No item (a) vamos verificar que
é solução; no item (b) vamos achar a solução geral em ]0,1[.
Passo 2
Para provar que
satisfaz a equação, calculamos
Substituindo em
obtemos
$$
(1 - x^{2})\cdot 0 - 2x\cdot1 + 2\cdot x = -2x + 2x = 0,
$$
odo que é solução.
odo que
Passo 3
Dividimos a equação original por
para colocá-la na forma padrão
obtendo
Logo
Como já temos uma solução
, aplicamos o método de redução de ordem:
Passo 4
Calculamos
portanto
Então o integrando vira
Integrando,
Passo 5
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Como
e
são independentes, a solução geral em ]0,1[ é dada por
Resposta
A solução geral em ]0,1[ é
onde
e
são constantes arbitrárias.