Seja a equação seguinte :
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0
a. Provar que a função y1, definida por y1(x)=x para todo x in R, é uma solução particular da equação (E).
b. Resolver a equação (E) em ] 0,1[.

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem
(1 - x^2)y'' - 2x y' + 2y = 0
que é uma EDO linear homogênea de 2ª ordem. O conteúdo é resolução de EDOs lineares de 2ª ordem usando redução de ordem. No item (a) vamos verificar que y1(x)=x é solução; no item (b) vamos achar a solução geral em ]0,1[.

Passo 2

Para provar que y1(x)=x satisfaz a equação, calculamos
y1'(x)=1,
y1''(x)=0
Substituindo em
(1 - x^2)y'' - 2x y' + 2y = 0
obtemos
$$
(1 - x^{2})\cdot 0 - 2x\cdot1 + 2\cdot x = -2x + 2x = 0,
$$
odo que (1 - x^2)cdot 0 - 2xcdot1 + 2cdot x = -2x + 2x = 0, é solução.

Passo 3

Dividimos a equação original por 1 - x^2 para colocá-la na forma padrão
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0,
obtendo
y'' - 2x1 - x^2,y' + 21 - x^2,y = 0
Logo
P(x) = -2x1 - x^2,
Q(x) = 21 - x^2
Como já temos uma solução y1(x), aplicamos o método de redução de ordem:
y2(x) = y1(x)integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 4

Calculamos
integral P(x),dx = integral -2x1 - x^2,dx = ln(1 - x^2),
portanto
e^-integral P(x),dx = e^-ln(1 - x^2) = 11 - x^2
Então o integrando vira
e^-integral P,dxy1^2 = 11 - x^2cdot 1x^2 = 1x^2(1 - x^2) = 1x^2 + 11 - x^2
Integrando,
integrall(1x^2 + 11 - x^2r)dx = -1x + 12lnl(1 + x1 - xr)

Passo 5

Multiplicando por y1(x)=x obtemos
y2(x) = xl(-1x + 12lnl(1 + x1 - xr)r) = -1 + x2lnl(1 + x1 - xr)

Passo 6

Como y1 e y2 são independentes, a solução geral em ]0,1[ é dada por
y(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x)

Resposta

A solução geral em ]0,1[ é
y(x) = C1,x + C2l(-1 + x2lnl(tfrac1+x1-xr)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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