Questão 3

Resolver a equação diferencial seguinte em ] 1,+infty[ :
y^prime+13 x y(x)-y(x)^4=0

Passo 1

A questão pede para resolver a equação diferencial y'+tfrac13xy-y^4=0 no intervalo ]1,+infty[. É um problema de equação de Bernoulli, que exige transformar a equação não linear em uma linear por meio de uma mudança de variável.

Passo 2

Reconhecendo a forma de Bernoulli: y'+p(x)y=q(x)y^n com p(x)=tfrac13x, q(x)=1 e n=4. A transformação padrão é v=y^1-n=y^-3.

Passo 3

Calculando a derivada de v:
v'=ddx(y^-3)=-3y^-4y'
Como y'=-p(x)y+q(x)y^4=-tfrac13xy+y^4, substituímos para obter
v'=-3y^-4l(-tfrac13xy+y^4r)=3cdottfrac13xy^-3-3=tfrac1xv-3
Reescrevendo, temos a equação linear
v'-tfrac1xv=-3

Passo 4

Para resolver a equação linear v'-tfrac1xv=-3 usamos fator integrante mu(x)=e^-integral!tfrac1xdx=x^-1. Multiplicando:
x^-1v'-x^-2v=-3x^-1
que é tfracddx(x^-1v)=-3x^-1. Integrando:
x^-1v=-3ln x+C Longrightarrow v=xl(C-3ln xr)

Passo 5

Voltando a y, lembramos que v=y^-3. Logo
y^-3=xl(C-3ln xr)
implica
y(x)=1raiz[3]xl(C-3ln xr)

Resposta

y(x)=dfrac1raiz[3]xl(C-3ln xr), com constante arbitrária C.

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