Questão 4
Seja
a função definida por
para todo
. Calcular
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a derivada de ordem n de f no ponto 0, ou seja, f^{(n)}(0), sabendo que f(x)=
. O conteúdo principal aqui é desenvolvimento em série de Taylor/Maclaurin e uso da fórmula f^{(n)}(0)=n!·[coeficiente de x^n].
Passo 2
Primeiro, vamos escrever f(x) de um jeito que facilite a expansão em série geométrica. Observa que
Agora usemos a identidade
de onde
Passo 3
Isolando a parte que vira série geométrica, temos
Então
Passo 4
Repara que o termo constante (k=0) se anula:
. Assim podemos começar a soma em n=1:
Passo 5
Na série de Maclaurin a gente tem f(x)=
com
. Comparando, para n≥1
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Resposta
Para n\ge1 temos
Além disso f(0)=0.