Questão 4

Seja f a função definida por f(x)=x4+3 x para todo x. Calcular f^(n)(0) para todo n in N.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a derivada de ordem n de f no ponto 0, ou seja, f^{(n)}(0), sabendo que f(x)= x4+3x. O conteúdo principal aqui é desenvolvimento em série de Taylor/Maclaurin e uso da fórmula f^{(n)}(0)=n!·[coeficiente de x^n].

Passo 2

Primeiro, vamos escrever f(x) de um jeito que facilite a expansão em série geométrica. Observa que
f(x)=x4+3x=13,3x4+3x
Agora usemos a identidade
3x4+3x=1-44+3x,
de onde
f(x)=13l(1-44+3xr)=13-43(4+3x)

Passo 3

Isolando a parte que vira série geométrica, temos
14+3x=14,11+34x=14sumk=0^infty(-1)^kl(34xr)^k=sumk=0^infty(-1)^k3^k4^k+1x^k
Então
f(x)=13-43sumk=0^infty(-1)^k3^k4^k+1x^k=13-sumk=0^infty(-1)^k3^k3,4^kx^k

Passo 4

Repara que o termo constante (k=0) se anula: 13-13=0. Assim podemos começar a soma em n=1:
f(x)=sumn=1^infty(-1)^n+13^n-14^n,x^n

Passo 5

Na série de Maclaurin a gente tem f(x)= sumn=0^infty an x^n com an=f^(n)(0)n!. Comparando, para n≥1
an=(-1)^n+13^n-14^n
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f^(n)(0)=n!,an=n!,(-1)^n+13^n-14^n, n>=1

Resposta

Para n\ge1 temos
f^(n)(0)=(-1)^n+1n!,3^n-14^n
Além disso f(0)=0.

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