Questão 5
Resolver a equação
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes:
. O conteúdo é EDO linear homogênea mais termo forçado; vamos usar o método da soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular via coeficientes a determinar.
Passo 2
Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica associated:\
Resolvendo, vêm as raízes
e
. Logo a solução complementar é
Passo 3
Para achar uma solução particular
, como o RHS é
, supomos a forma
Essa é a técnica de coeficientes a determinar.
Passo 4
Agora calculamos derivadas de
:
Substituindo na EDO LHS=
dá
Passo 5
Como isso precisa ser igual a
, igualamos coeficientes:
Da primeira vem . Substituindo na segunda:
então
e
,
.
Da primeira vem
Passo 6
Juntando tudo, a solução geral é a soma de
com
:
Resposta
y(x)=C_{1}e{2x}+C_{2}e{-3x}-\frac{1}{42}\cos(2x)-\frac{5}{42}\sin(2x)