Questão 5

Resolver a equação y^prime prime+y^prime-6 y=sen(2 x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes: y''+y'-6y=sin(2x). O conteúdo é EDO linear homogênea mais termo forçado; vamos usar o método da soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular via coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica associated:\
r^2 + r - 6 = 0
Resolvendo, vêm as raízes r1=2 e r2=-3. Logo a solução complementar é
yc = C1 e^2x + C2 e^-3x

Passo 3

Para achar uma solução particular yp, como o RHS é sin(2x), supomos a forma
yp = Acos(2x) + Bsin(2x)
Essa é a técnica de coeficientes a determinar.

Passo 4

Agora calculamos derivadas de yp:
yp' = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x),
yp'' = -4Acos(2x) -4Bsin(2x)
Substituindo na EDO LHS= yp''+yp'-6yp
(-4A+2B-6A)cos(2x) + (-4B-2A-6B)sin(2x) = (-10A+2B)cos(2x) +(-2A-8B)sin(2x)

Passo 5

Como isso precisa ser igual a sin(2x), igualamos coeficientes:
B=5A
-2A - 8cdot5A =1
Da primeira vem -42A=1. Substituindo na segunda: A=-tfrac142 então B=-tfrac542 e , .

Passo 6

Juntando tudo, a solução geral é a soma de yc com yp:
y(x)=C1 e^2x + C2 e^-3x -142cos(2x) -542sin(2x)

Resposta

y(x)=C_{1}e{2x}+C_{2}e{-3x}-\frac{1}{42}\cos(2x)-\frac{5}{42}\sin(2x)

Exercícios relacionados