Questão 1. Para resolver
, foram propostos os seguintes problemas de ponto fixo.
i)
ii)
iii)
iv)
a) Deduza cada uma das equações.
b) Tomando
, calcule as aproximações
a
para cada equação.
c) Baseando-se apenas no item (b), quais métodos parecem convergir?
i)
ii)
iii)
iv)
a) Deduza cada uma das equações.
b) Tomando
c) Baseando-se apenas no item (b), quais métodos parecem convergir?
Passo 1
O enunciado é resolver a equação
por métodos de ponto-fixo, usando as quatro reformulações
Precisamos, em (a) mostrar como obter cada uma, em (b) iterar desde
até
e em (c) dizer quais convergem.
Passo 2
Deduza cada reformulação isolando
em
:
(i)
(ii) dividir por (supondo
):
(i)
(ii) dividir por
(iii) multiplique por
:
(escolhendo a raiz positiva).
(iv)
(iv)
Passo 3
Iteração da fórmula (i):
Calculemos com 5 casas significativas:
Passo 4
Iteração da fórmula (ii):
Em seguida
é indefinido. Logo diverge.
Passo 5
Iteração da fórmula (iii):
Então
é indefinido. Logo diverge.
Passo 6
Iteração da fórmula (iv):
Passo 7
Das iterações vimos que
– (i) gera a sequência que converge para cerca de
.
– (iv) gera que converge para cerca de
.
Já (ii) e (iii) saem de domínio e divergem.
– (i) gera a sequência
– (iv) gera
Já (ii) e (iii) saem de domínio e divergem.
Resposta
Os métodos que convergem a partir de
são as fórmulas (i) e (iv).