Questão 1. Para resolver x^{3}-2 x+1=0, foram propostos os seguintes problemas de ponto fixo.
i) x=\frac{1}{2}\left(x^{3}+1\right)
ii) x=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}
iii) x=\sqrt{2-\frac{1}{x}}
iv) x=-\sqrt[3]{1-2 x}
a) Deduza cada uma das equações.
b) Tomando p_{0}=\frac{1}{2}, calcule as aproximações p_{1} a p_{4} para cada equação.
c) Baseando-se apenas no item (b), quais métodos parecem convergir?

Passo 1

O enunciado é resolver a equação
x^{3}-2x+1=0
por métodos de ponto-fixo, usando as quatro reformulações
\text{(i)}\;x=\tfrac12\bigl(x^{3}+1\bigr),\quad \text{(ii)}\;x=\tfrac{2}{x}-\tfrac{1}{x^{2}},\quad \text{(iii)}\;x=\sqrt{2-\tfrac1{x}},\quad \text{(iv)}\;x=-\sqrt[\,3]{\,1-2x\,}\,.
Precisamos, em (a) mostrar como obter cada uma, em (b) iterar desde p_{0}=\tfrac12 até p_{4} e em (c) dizer quais convergem.

Passo 2

Deduza cada reformulação isolando x em x^{3}-2x+1=0:
(i) x^{3}-2x+1=0\implies x^{3}+1=2x\implies x=\tfrac12(x^{3}+1).
(ii) dividir por x^{2} (supondo x\neq0):
x - \tfrac{2}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}=0\implies x=\tfrac{2}{x}-\tfrac{1}{x^{2}}.
(iii) multiplique por 1/x:
x^{2}-2+\tfrac1{x}=0\implies x^{2}=2-\tfrac1{x}\implies x=\sqrt{2-\tfrac1{x}}
(escolhendo a raiz positiva).
(iv)
x^{3}-2x+1=0\implies x^{3}=1-2x\implies x=-\sqrt[\,3]{\,1-2x\,}.

Passo 3

Iteração da fórmula (i):
g_{1}(x)=\tfrac12(x^{3}+1),\quad p_{n+1}=g_{1}(p_{n}),\;p_{0}=0.5.
Calculemos com 5 casas significativas: p_{1}=\tfrac12(0.5^{3}+1)=0.56250 p_{2}=\tfrac12(0.56250^{3}+1)\approx0.58899 p_{3}=\tfrac12(0.58899^{3}+1)\approx0.60207 p_{4}=\tfrac12(0.60207^{3}+1)\approx0.60927

Passo 4

Iteração da fórmula (ii):
g_{2}(x)=\tfrac{2}{x}-\tfrac{1}{x^{2}},\;p_{0}=0.5. p_{1}=2/0.5-1/0.5^{2}=4-4=0.
Em seguida
p_{2}=g_{2}(p_{1})=g_{2}(0)=\tfrac{2}{0}-\tfrac{1}{0^{2}}
é indefinido. Logo diverge.

Passo 5

Iteração da fórmula (iii):
g_{3}(x)=\sqrt{2-\tfrac1{x}},\;p_{0}=0.5. p_{1}=\sqrt{2-1/0.5}=\sqrt{0}=0.
Então
p_{2}=\sqrt{2-\tfrac1{0}}
é indefinido. Logo diverge.

Passo 6

Iteração da fórmula (iv):
g_{4}(x)=-\sqrt[\,3]{\,1-2x\,},\;p_{0}=0.5. p_{1}=-\sqrt[3]{1-2\cdot0.5}=-\sqrt[3]{0}=0 p_{2}=-\sqrt[3]{1-2\cdot0}= -1.00000 p_{3}=-\sqrt[3]{1-2(-1)}=-\sqrt[3]{3}\approx-1.44225 p_{4}=-\sqrt[3]{1-2(-1.44225)}\approx-1.57300

Passo 7

Das iterações vimos que
– (i) gera a sequência 0.5,0.56250,0.58899,0.60207,0.60927,\dots que converge para cerca de 0.618.
– (iv) gera 0.5,0,-1,-1.442,-1.573,\dots que converge para cerca de -1.618.
Já (ii) e (iii) saem de domínio e divergem.

Resposta

Os métodos que convergem a partir de p_{0}=0.5 são as fórmulas (i) e (iv).

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