Questão 4.

(a) Determine \pi com erro absoluto no máximo igual a 0,05 aplicando o método da bisseção à equação \operatorname{sen} x=0, iniciando com o intervalo [3,4].
(b) Quantas iterações seriam suficientes para aproximar \pi com precisão de 10^{-8} ?

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de \sin x=0 que coincide com \pi dentro do intervalo inicial [3,4] usando o método da bisseção, de modo que o erro absoluto seja no máximo 0,05. Depois, pede quantas iterações seriam necessárias para garantir precisão de 10^{-8}. O conteúdo é o método da bisseção para raízes de funções contínuas e o critério de parada baseado no tamanho do intervalo.

Passo 2

No método da bisseção, em cada iteração k tomamos o ponto médio
c_k = \frac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}
e calculamos \sin(c_k). Se \sin(a_{k-1}) e \sin(c_k) têm sinais opostos, a raiz está em [a_{k-1},c_k], então definimos a_k = a_{k-1}, b_k = c_k. Caso contrário, a raiz está em [c_k,b_{k-1}], e tomamos a_k = c_k, b_k = b_{k-1}. Repetimos até que o intervalo seja suficientemente pequeno.

Passo 3

Após n iterações, o comprimento do intervalo é
b_n - a_n = \frac{b_0 - a_0}{2^n} \;=\;\frac{1}{2^n},
porque b_0-a_0=4-3=1. Escolhendo a aproximação c_n como midpoint, temos o erro
\bigl|c_n - \pi\bigr|\le \frac{b_n - a_n}{2} = \frac{1}{2^{n+1}}.
Para simplificar, muita gente usa diretamente
\bigl|c_n - \pi\bigr|\le \frac{b_0 - a_0}{2^n} = \frac{1}{2^n}.
(a) Queremos \tfrac{1}{2^n}\le 0,05. Então
2^n \ge \frac{1}{0,05}=20,
n \ge \log_2(20)\approx4,32
logo n=5 iterações.

Passo 4

Vamos executar as 5 iterações, anotando c_k e o sinal de \sin(c_k):
Iteração 1:
c_1=\frac{3+4}{2}=3,5,\quad \sin(3,5)\approx -0,3508<0
Como \sin(3)=+0,1411>0, a raiz está em [3,3,5].
Iteração 2:
c_2=\frac{3+3,5}{2}=3,25,\quad \sin(3,25)\approx -0,1082<0
Então a raiz está em [3,3,25].
Iteração 3:
c_3=\frac{3+3,25}{2}=3,125,\quad \sin(3,125)\approx +0,0166>0
Então a raiz está em [3,125,3,25].
Iteração 4:
c_4=\frac{3,125+3,25}{2}=3,1875,\quad \sin(3,1875)\approx -0,0460<0
Raiz em [3,125,3,1875].
Iteração 5:
c_5=\frac{3,125+3,1875}{2}=3,15625,\quad \sin(3,15625)\approx -0,0147<0
Raiz em [3,125,3,15625].
Depois de 5 iterações, o intervalo tem comprimento \tfrac1{2^5}=0,03125, dando erro \le0,03125<0,05.

Passo 5

(b) Para erro \le10^{-8} usamos
\frac{1}{2^n}\le 10^{-8}\quad\Longrightarrow\quad 2^n\ge 10^8,
n\ge \log_2\bigl(10^8\bigr)=8\log_2(10)\approx8\times3,3219\approx26,575,
ou seja, n=27 iterações.

Resposta

(a) Após 5 iterações obtemos c_5=3,15625, com erro \le0,05.
(b) São necessárias 27 iterações para garantir erro \le10^{-8}.

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