Questão 5. Seja f(x)=(x-1)^{10}, \xi=1 e x_{n}=1+1 / n.
(a) Mostre que \left|f\left(x_{n}\right)\right|<10^{-3} para todo n>1, enquanto que \left|x_{n}-\xi\right|<10^{-3} requer n>1000.
(b) O que você pode concluir a partir do resultado do item (a) com relação ao teste de parada do método da bisseção?
Passo 1
O enunciado define a função
f(x) = (x-1)^{10},
o ponto exato da raiz \xi = 1 e a sequência
x_{n} = 1 + \frac{1}{n}.
Queremos comparar a “erro na função” \bigl|f(x_{n})\bigr| com o “erro no argumento” \bigl|x_{n}-\xi\bigr| e ver como isso afeta o critério de parada do método da bisseção.
Ou seja, só para n>1000 teremos \bigl|x_{n}-\xi\bigr|<10^{-3}.
Passo 4
Concluímos que a condição \bigl|f(x_{n})\bigr|<10^{-3} fica satisfeita já para n=2, enquanto a condição \bigl|x_{n}-\xi\bigr|<10^{-3} exige n>1000. Isso mostra que, perto de uma raiz de multiplicidade elevada (aqui multiplicidade 10), o valor de f(x) fica muito pequeno mesmo quando x ainda está longe da raiz.
No método da bisseção isso significa que usar apenas o critério \bigl|f(x)\bigr|<\varepsilon pode levar a uma parada prematura com um erro em x bem maior do que \varepsilon. Por isso, o teste de parada do método da bisseção deve controlar também o tamanho do intervalo[a,b], garantindo que
\frac{b-a}{2^{n}}<\text{tol}_x,
e não confiar só em \bigl|f(x)\bigr|.
Resposta
(a) \bigl|f(x_{n})\bigr|=n^{-10}<2^{-10}<10^{-3} para todo n>1, enquanto \bigl|x_{n}-1\bigr|=1/n<10^{-3} requer n>1000.
(b)
Do item (a) vemos que um critério de parada baseado só em \bigl|f(x)\bigr| pode parar muito antes de o erro em x ser pequeno. No método da bisseção é essencial usar também o critério de tamanho do intervalo, não somente \bigl|f(x)\bigr|.