Questão 5. Seja f(x)=(x-1)^{10}, \xi=1 e x_{n}=1+1 / n.
(a) Mostre que \left|f\left(x_{n}\right)\right|<10^{-3} para todo n>1, enquanto que \left|x_{n}-\xi\right|<10^{-3} requer n>1000.
(b) O que você pode concluir a partir do resultado do item (a) com relação ao teste de parada do método da bisseção?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = (x-1)^{10},
o ponto exato da raiz \xi = 1 e a sequência
x_{n} = 1 + \frac{1}{n}.
Queremos comparar a “erro na função” \bigl|f(x_{n})\bigr| com o “erro no argumento” \bigl|x_{n}-\xi\bigr| e ver como isso afeta o critério de parada do método da bisseção.

Passo 2

Calculemos
\bigl|f(x_{n})\bigr| = \bigl|(x_{n}-1)^{10}\bigr| = \Bigl|\frac{1}{n}\Bigr|^{10} = \frac{1}{n^{10}}.
Para n\ge2 temos
n^{10}\ge 2^{10}=1024>10^{3},
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\frac{1}{n^{10}}<\frac{1}{1024}<10^{-3}.
Portanto, sempre que n>1 (isto é, n\ge2), vale
\bigl|f(x_{n})\bigr|<10^{-3}.

Passo 3

Agora o erro no argumento é
\bigl|x_{n}-\xi\bigr| = \Bigl|1+\frac{1}{n}-1\Bigr| = \frac{1}{n}.
Para que \frac{1}{n}<10^{-3} precisamos de
n>10^{3}=1000.
Ou seja, só para n>1000 teremos \bigl|x_{n}-\xi\bigr|<10^{-3}.

Passo 4

Concluímos que a condição \bigl|f(x_{n})\bigr|<10^{-3} fica satisfeita já para n=2, enquanto a condição \bigl|x_{n}-\xi\bigr|<10^{-3} exige n>1000. Isso mostra que, perto de uma raiz de multiplicidade elevada (aqui multiplicidade 10), o valor de f(x) fica muito pequeno mesmo quando x ainda está longe da raiz.
No método da bisseção isso significa que usar apenas o critério \bigl|f(x)\bigr|<\varepsilon pode levar a uma parada prematura com um erro em x bem maior do que \varepsilon. Por isso, o teste de parada do método da bisseção deve controlar também o tamanho do intervalo [a,b], garantindo que
\frac{b-a}{2^{n}}<\text{tol}_x,
e não confiar só em \bigl|f(x)\bigr|.

Resposta

(a) \bigl|f(x_{n})\bigr|=n^{-10}<2^{-10}<10^{-3} para todo n>1, enquanto \bigl|x_{n}-1\bigr|=1/n<10^{-3} requer n>1000.
(b)
Do item (a) vemos que um critério de parada baseado só em \bigl|f(x)\bigr| pode parar muito antes de o erro em x ser pequeno. No método da bisseção é essencial usar também o critério de tamanho do intervalo, não somente \bigl|f(x)\bigr|.

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