Questão 1: Responda:
Determine x para que o determinante da matriz seja 0 A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\\\ 2 x & 2 & x^{2} \\\\ 2 x & 1 & x^{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 2x & 2 & x^2\\\\ 2x & 1 & x^2 \end{pmatrix}
é zero. O conteúdo é cálculo de determinante de matriz 3\times3 e usaremos expansão de Laplace pela primeira linha.

Passo 2

Aplicando expansão de Laplace na primeira linha de A, como o segundo termo se anula, obtemos
\det(A) = 2 \det\begin{pmatrix}2 & x^2 \\\\ 1 & x^2\end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}2x & 2 \\\\ 2x & 1\end{pmatrix}
.

Passo 3

Calculamos os determinantes dos menores:
\det\begin{pmatrix}2 & x^2 \\\\ 1 & x^2\end{pmatrix} = 2x^2 - x^2 = x^2
\det\begin{pmatrix}2x & 2 \\\\ 2x & 1\end{pmatrix} = 2x\cdot1 - 2\cdot2x = 2x - 4x = -2x
Logo,
\det(A) = 2\cdot x^2 + (-2x) = 2x^2 - 2x
.

Passo 4

Para \det(A)=0 resolvemos
2x^2 - 2x = 0
o que dá
2x(x - 1) = 0
e, portanto,
x = 0 \quad\text{ou}\quad x = 1.

Resposta

x = 0 ou x = 1

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