Questão 2: Use a definição de operador diagonalizável, para verificar quais operadores são diagonalizáveis nos casos:
T: \mathbf{R}^{3} \longleftrightarrow \mathbf{R}^{3}, dado por T(x, y, z)=(3 x-3 y-6 z, 3 y+z,-z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
T\colon \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}^3,\quad T(x,y,z) = (3x - 3y - 6z,\;3y + z,\;-z)
é diagonalizável segundo a definição: um operador é diagonalizável se existe base de \mathbf{R}^3 formada por vetores próprios. Para isso, vamos (i) obter a matriz de T na base canônica, (ii) calcular polinômio característico e valores próprios, (iii) encontrar as dimensões dos corres-pondentes autoespaços e (iv) comparar multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

A matriz de T na base canônica e_1,e_2,e_3 é obtida aplicando T a cada vetor-coluna:
A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & -6\\\\ 0 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Como A é triangular superior, o polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)\,(3 - \lambda)\,(-1 - \lambda) = (3 - \lambda)^2(-1 - \lambda).
Logo os valores próprios são \lambda_1 = 3 (algébrica 2) e \lambda_2 = -1 (algébrica 1).

Passo 3

Para \lambda=3, resolvemos (A - 3I)v = 0:
A - 3I = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -6\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.
Da segunda e da terceira linha vem z=0. Substituindo na primeira obtemos -3y=0\Rightarrow y=0, e x fica livre. Logo o autoespaço de \lambda=3 é
E_3 = \{(x,0,0)\mid x\in\mathbf{R}\},
com dimensão geométrica 1.

Passo 4

Para \lambda=-1, resolvemos (A + I)v = 0:
A + I = \begin{pmatrix} 4 & -3 & -6\\\\ 0 & 4 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Da segunda equação 4y + z=0\Rightarrow z=-4y. Substituindo na primeira:
4x -3y -6(-4y)=4x+21y=0\;\Rightarrow\;x=-\tfrac{21}{4}y.
Assim E_{-1}=\{y(-\tfrac{21}{4},1,-4)\mid y\in\mathbf{R}\} tem dimensão geométrica 1, igual à multiplicidade algébrica.

Passo 5

Para ser diagonalizável em \mathbf{R}^3, a soma das dimensões geométricas dos autoespaços deve ser 3. Aqui temos
\dim E_3 + \dim E_{-1} = 1 + 1 = 2 < 3.
Logo não há base de \mathbf{R}^3 formada por vetores próprios de T.

Resposta

O operador T não é diagonalizável.

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