Questão 2: Use a definição de operador diagonalizável, para verificar quais operadores são diagonalizáveis nos casos: T: \mathbf{R}^{3} \longleftrightarrow \mathbf{R}^{3}, dado por T(x, y, z)=(3 x-3 y-6 z, 3 y+z,-z)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
é diagonalizável segundo a definição: um operador é diagonalizável se existe base de \mathbf{R}^3 formada por vetores próprios. Para isso, vamos (i) obter a matriz de T na base canônica, (ii) calcular polinômio característico e valores próprios, (iii) encontrar as dimensões dos corres-pondentes autoespaços e (iv) comparar multiplicidades algébrica e geométrica.
Passo 2
A matriz de T na base canônica e_1,e_2,e_3 é obtida aplicando T a cada vetor-coluna: