QUESTÃO 4. Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando:
(b) Se Am times p e Bp times n são matrizes com o mesmo posto k neq 0, então A B também possui posto k. (Sug.: qual o posto de uma matriz nula?)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas matrizes A de tamanho mtimes p e B de tamanho ptimes n, ambas com posto igual a um mesmo número kneq0. A pergunta é se necessariamente o produto AB também terá posto k. Para responder, vamos usar propriedades de posto de matrizes.

Passo 2

Uma propriedade clássica é
rank(AB);<=;minl(rank(A),,rank(B)r)
Como rank(A)=rank(B)=k, segue que
rank(AB)<= k
Isso não garante igualdade — só garante que o posto de AB não ultrapassa k.

Passo 3

Para ver que pode cair, note que a matriz nula tem posto zero. Vamos então construir um contra– exemplo simples com k=1. Tome
A=1&00&0, B=0&00&1
Cada uma tem posto 1, mas
AB=1&00&0 0&00&1 =0&00&0,
que é a matriz nula, de posto 0, ou seja <1.

Passo 4

Esse exemplo mostra que, mesmo que rank(A)=rank(B)=kneq0, o produto AB pode ter posto menor que k. Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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