QUESTÃO 4. Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando:
(d) Seja
uma matriz
. Então o sistema
possui solução única se e só se o posto de
for máximo.
(d) Seja
Passo 1
O enunciado quer saber se, para uma matriz quadrada
de ordem
, o sistema homogêneo
tem solução única (isto é, só a trivial
) exatamente quando o posto de
é máximo (
). O conteúdo usado será o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), que relaciona posto e dimensão do espaço de soluções.
Passo 2
Suponha
. Pelo Teorema da Dimensão,
Como o núcleo (
) tem dimensão zero, a única solução de
é o vetor
, ou seja, a solução é única.
Passo 3
Agora, suponha que o sistema
tenha solução única. Isso significa que
, logo
Pelo Teorema da Dimensão, vem
ou seja, o posto de
é máximo.
Passo 4
Juntando as duas implicações, concluímos que
Resposta
Verdadeiro.