QUESTÃO 4. Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando:
(d) Seja A uma matriz n times n. Então o sistema A X=0 possui solução única se e só se o posto de A for máximo.

Passo 1

O enunciado quer saber se, para uma matriz quadrada A de ordem n, o sistema homogêneo
A X = 0
tem solução única (isto é, só a trivial X=0) exatamente quando o posto de A é máximo ( rank(A)=n). O conteúdo usado será o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), que relaciona posto e dimensão do espaço de soluções.

Passo 2

Suponha rank(A)=n. Pelo Teorema da Dimensão,
dim(ker A) ;=; n - rank(A);=;n - n;=;0
Como o núcleo ( ker A) tem dimensão zero, a única solução de A X=0 é o vetor X=0, ou seja, a solução é única.

Passo 3

Agora, suponha que o sistema A X=0 tenha solução única. Isso significa que ker A=0, logo
dim(ker A)=0
Pelo Teorema da Dimensão, vem
rank(A) ;=; n - dim(ker A);=;n - 0;=;n,
ou seja, o posto de A é máximo.

Passo 4

Juntando as duas implicações, concluímos que
A X=0 tem solução única Long<=ftrightarrow rank(A)=n çãú

Resposta

Verdadeiro.

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