QUESTÃO 4. Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando:
(a) Se posto de Am times n for máximo então m >= n.

Passo 1

O enunciado considera uma matriz A de dimensão mtimes n e pergunta se, ao termos o posto de A igual ao valor máximo possível, isso força m>= n. Para resolver, vamos usar o fato fundamental de que
rank(A)<=min(m,n)
e que “posto máximo” significa rank(A)=min(m,n).

Passo 2

Se rank(A)=min(m,n), então há dois casos:
  • Se m>= n, então min(m,n)=n e rank(A)=n.
  • Se m< n, então min(m,n)=m e rank(A)=m.
Logo, mesmo quando m<n podemos ter rank(A)=m, que é o posto máximo. Por exemplo, para m=2, n=3 e
A = 1 & 0 & 00 & 1 & 0,
temos rank(A)=2=min(2,3), embora m<n.

Resposta

Falso.

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