Sejam \langle u, v\rangle o produto interno euclidiano em R^{3} \mathrm{e} u=(1,1,-1), v=(3,2,0), w= (0,-1,0) e k=3. Calcule as expressões dadas.
b) \langle k v, w\rangle

Passo 1

O enunciado define o produto interno euclidiano em \mathbb{R}^3 e fornece os vetores
v=(3,2,0),\quad w=(0,-1,0),\quad k=3
pede para calcular \langle k\,v, w\rangle. Para isso, usaremos a linearidade do produto interno no primeiro argumento e a definição de produto escalar como soma dos produtos das componentes.

Passo 2

Pela linearidade no primeiro argumento do produto interno, vale
\langle k\,v, w\rangle = k \,\langle v, w\rangle.

Passo 3

Agora calculamos \langle v, w\rangle pela definição
\langle v, w\rangle = 3\cdot 0 \;+\; 2\cdot(-1)\;+\;0\cdot0 = -2.

Passo 4

Finalmente, multiplicamos pelo escalar k=3:
\langle k\,v, w\rangle = 3 \times (-2) = -6.

Resposta

-6

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