Questão 4
Resposta salva
Vale 0,50 ponto(s).
P Marcar questão
Método Iterativo de Relaxações (0.5)
O que acontece se o fator
for mal escolhido (muito longe do ideal)?
◯ a. O método retorna solução exata em uma iteração
◯ b. O método pode não convergir
◯ c. O sistema é resolvido mais rapidamente
◯ d. O vetor
se torna inválido
Limpar minha escolha
Vale 0,50 ponto(s).
P Marcar questão
◯ a. O método retorna solução exata em uma iteração
◯ b. O método pode não convergir
◯ c. O sistema é resolvido mais rapidamente
◯ d. O vetor
Passo 1
O enunciado pergunta: “O que acontece se o fator
for mal escolhido (muito longe do ideal)?” e dá quatro alternativas:
- a. O método retorna solução exata em uma iteração
- b. O método pode não convergir
- c. O sistema é resolvido mais rapidamente
- d. O vetor
se torna inválido
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há um método iterativo de relaxação que usa um fator
(o famoso SOR / Successive Over-Relaxation). - A pergunta é sobre o efeito de escolher um valor de
“muito longe do ideal”.
Passo 2
O que é esse
e como ele aparece no método?
- Considere o sistema linear
. Separemos a matriz em , onde: - A iteração SOR atualiza
para pela fórmula Nesta expressão: -
é o fator de relaxação (um escalar), - a parte que multiplica
é a matriz de iteração , - a convergência do método depende do raio espectral
. O método converge se e somente se .
-
Passo 3
Intuição sobre o papel de
:
- Se
obtém-se o método de Gauss–Seidel. - Se
chama-se under-relaxation: os passos ficam mais conservadores, geralmente mais estáveis mas mais lentos. - Se
chama-se over-relaxation: pode acelerar a convergência (quando bem escolhido) porque toma passos maiores rumo à solução. - Se
estiver muito longe do valor ótimo — por exemplo muito grande ( ) ou negativo — os passos podem “ultrapassar” a solução, causando oscilações e até divergência. Ou seja, escolher mal pode tornar , e então o método deixa de convergir.
Passo 4
Resultado teórico importante (resumido, sem demonstração longa):
- Para matrizes simétricas positivas definidas (SPD) existe um intervalo típico
no qual SOR pode convergir; o valor ótimo que minimiza fica normalmente em . - Para matrizes gerais, não há garantia simples: escolher
fora de uma faixa razoável pode facilmente destruir a convergência.
Passo 5
Exemplo numérico simples que mostra divergência quando
é grande:
- Tome a matriz pequena
que é SPD (bonitinha e fácil de trabalhar). - Calculando a matriz de iteração
para essa obtém-se (após contas) - Para
(um “bem longe do ideal”) essa matriz fica numericamente O determinante desta matriz é , ou seja o produto dos autovalores vale . Assim pelo menos um autovalor tem módulo maior que , logo e a iteração diverge. Conclusão prática: um muito grande pode levar à não convergência. - Esse exemplo ilustra concretamente que escolher
“muito longe do ideal” pode fazer o método não convergir.]
Passo 6
Comentário prático e motivador (fica a dica amiga):
- Em aplicações reais costuma-se testar alguns valores de
(ex.: 1, 1{,}1, 1{,}25, 1{,}5, …) ou estimar a partir de propriedades da matriz (autovalores aproximados do operador Jacobi). Escolher bem é importante: quando bem escolhido acelera muito; quando mal escolhido pode estagnar ou divergir — por isso a alternativa correta precisa expressar a possibilidade de falta de convergência.
Resposta
b.