Questão 4

Resposta salva
Vale 0,50 ponto(s).
P Marcar questão

Método Iterativo de Relaxações (0.5)

O que acontece se o fator \omega for mal escolhido (muito longe do ideal)?
◯ a. O método retorna solução exata em uma iteração
◯ b. O método pode não convergir
◯ c. O sistema é resolvido mais rapidamente
◯ d. O vetor b se torna inválido
Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado pergunta: “O que acontece se o fator \omega for mal escolhido (muito longe do ideal)?” e dá quatro alternativas:
  • a. O método retorna solução exata em uma iteração
  • b. O método pode não convergir
  • c. O sistema é resolvido mais rapidamente
  • d. O vetor b se torna inválido
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há um método iterativo de relaxação que usa um fator \omega (o famoso SOR / Successive Over-Relaxation).
  • A pergunta é sobre o efeito de escolher um valor de \omega “muito longe do ideal”.

Passo 2

O que é esse \omega e como ele aparece no método?
  • Considere o sistema linear \,A x = b\,. Separemos a matriz A em A = D - L - U, onde: D=\text{diagonal}(A),\qquad L=\text{parte estritamente inferior de }A,\qquad U=\text{parte estritamente superior de }A.
  • A iteração SOR atualiza x^{(k)} para x^{(k+1)} pela fórmula x^{(k+1)} = (D - \omega L)^{-1}\big[(1-\omega)D + \omega U\big]\,x^{(k)} + \omega (D-\omega L)^{-1} b.Nesta expressão:
    • \omega é o fator de relaxação (um escalar),
    • a parte que multiplica x^{(k)} é a matriz de iteração G_{\text{SOR}}(\omega),
    • a convergência do método depende do raio espectral \rho\big(G_{\text{SOR}}(\omega)\big). O método converge se e somente se \rho\big(G_{\text{SOR}}(\omega)\big)<1.

Passo 3

Intuição sobre o papel de \omega:
  • Se \omega=1 obtém-se o método de Gauss–Seidel.
  • Se 0<\omega<1 chama-se under-relaxation: os passos ficam mais conservadores, geralmente mais estáveis mas mais lentos.
  • Se 1<\omega<2 chama-se over-relaxation: pode acelerar a convergência (quando bem escolhido) porque toma passos maiores rumo à solução.
  • Se \omega estiver muito longe do valor ótimo — por exemplo muito grande ( \omega\gg1) ou negativo — os passos podem “ultrapassar” a solução, causando oscilações e até divergência. Ou seja, escolher mal pode tornar \rho(G_{\text{SOR}}(\omega))\ge1, e então o método deixa de convergir.

Passo 4

Resultado teórico importante (resumido, sem demonstração longa):
  • Para matrizes simétricas positivas definidas (SPD) existe um intervalo típico 0<\omega<2 no qual SOR pode convergir; o valor ótimo \omega_{\text{opt}} que minimiza \rho(G_{\text{SOR}}) fica normalmente em (1,2).
  • Para matrizes gerais, não há garantia simples: escolher \omega fora de uma faixa razoável pode facilmente destruir a convergência.

Passo 5

Exemplo numérico simples que mostra divergência quando \omega é grande:
  • Tome a matriz pequena A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix},que é SPD (bonitinha e fácil de trabalhar).
  • Calculando a matriz de iteração G_{\text{SOR}}(\omega)=(D-\omega L)^{-1}((1-\omega)D+\omega U) para essa A obtém-se (após contas) G_{\text{SOR}}(\omega)= \begin{pmatrix} 1-\omega & -\dfrac{\omega}{2}\\[6pt] -\dfrac{\omega}{2}(1-\omega) & 1-\omega+\dfrac{\omega^2}{4} \end{pmatrix}.
  • Para \omega=2{,}5 (um \omega “bem longe do ideal”) essa matriz fica numericamente G_{\text{SOR}}(2{,}5)\approx \begin{pmatrix} -1{,}5 & -1{,}25\\[4pt] 1{,}875 & 0{,}0625 \end{pmatrix}.O determinante desta matriz é \det(G_{\text{SOR}}(2{,}5))=2{,}25, ou seja o produto dos autovalores vale 2{,}25>1. Assim pelo menos um autovalor tem módulo maior que 1, logo \rho(G_{\text{SOR}}(2{,}5))>1 e a iteração diverge. Conclusão prática: um \omega muito grande pode levar à não convergência.
  • Esse exemplo ilustra concretamente que escolher \omega “muito longe do ideal” pode fazer o método não convergir.]

Passo 6

Comentário prático e motivador (fica a dica amiga):
  • Em aplicações reais costuma-se testar alguns valores de \omega (ex.: 1, 1{,}1, 1{,}25, 1{,}5, …) ou estimar \omega_{\text{opt}} a partir de propriedades da matriz (autovalores aproximados do operador Jacobi). Escolher \omega bem é importante: quando bem escolhido acelera muito; quando mal escolhido pode estagnar ou divergir — por isso a alternativa correta precisa expressar a possibilidade de falta de convergência.

Resposta

b.

Exercícios relacionados