Dada a seguinte função f(x)=x^{3}-7 x^{2}+14 x-6 e usando o método da Bisseção com a =3.2 e b=4, com critério de parada |f(x)|<0.00005, temos os seguintes resultados para raiz, número de iterações e precisão da solução, respectivamente (realize as operações com dupla precisão):
Escolha uma opção:
◯ a. k=14 ; x m=3.41420898437500 ;|f x m|=5.36339042866985 e-006
◯ b. k=10 ; x m=3.41420898437500 ;|f(x m)|=6.10359012398476 e-010
◯ C. k=14 ; x m=3.5 ;|f(x m)|=0
◯ d. k=10 ; x m=3,5 ;|f(x m)|=0
◯ e. Não converge para o intervalo fornecido

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-7x^{2}+14x-6 e pede aplicar o método da Bisseção com a=3{,}2 e b=4, usando critério de parada |f(x)|<0{,}00005. Foi pedido também realizar as operações com dupla precisão.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: f(x)=x^{3}-7x^{2}+14x-6.
  • Intervalo inicial: a=3{,}2, b=4.
  • Critério de parada: |f(x)|<0{,}00005.
  • Deve-se usar bisseção (metodologia padrão do método da bisseção) e contar o número de iterações k até o critério ser satisfeito.

Passo 2

Lembrete rápido sobre o método da Bisseção (aula mastigada):
  • Para aplicar a bisseção precisa-se de um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos; então, por Bolzano (teorema do valor intermediário), existe pelo menos uma raiz em (a,b).
  • Em cada iteração calcula-se o ponto médio
m=\frac{a+b}{2},
avalia-se f(m). Se f(m)=0 (caso raro) a raiz foi encontrada. Caso contrário:
  • Se f(a)\cdot f(m)<0 substitui-se b\leftarrow m (a raiz está em [a,m]);
  • Se f(m)\cdot f(b)<0 substitui-se a\leftarrow m (a raiz está em [m,b]).
  • Repete-se até o critério de parada ser satisfeito (aqui |f(m)|<0{,}00005). Cada iteração reduz o comprimento do intervalo pela metade, o que garante convergência linear.

Passo 3

Verificação inicial de existência de raiz no intervalo dado:
  • Calcular f(3{,}2):
f(3{,}2)=3{,}2^{3}-7(3{,}2)^{2}+14(3{,}2)-6=32{,}768-71{,}68+44{,}8-6=-0{,}112.
  • Calcular f(4):
f(4)=4^{3}-7\cdot4^{2}+14\cdot4-6=64-112+56-6=2.
Temos f(3{,}2)=-0{,}112<0 e f(4)=2>0. Como os sinais são opostos, existe pelo menos uma raiz em [3{,}2,4]. Vamos aplicar a bisseção.

Passo 4

Vamos iterar a bisseção e em cada passo anotar m, f(m), e o novo intervalo. Contagem de iterações k inicia em 1.
  1. k=1: m=\dfrac{3{,}2+4}{2}=3{,}6.
    f(3{,}6)=46{,}656-90{,}72+50{,}4-6=0{,}336>0.
    Novo intervalo: [3{,}2,3{,}6].
  2. k=2: m=\dfrac{3{,}2+3{,}6}{2}=3{,}4.
    f(3{,}4)=39{,}304-80{,}92+47{,}6-6=-0{,}016<0.
    Novo intervalo: [3{,}4,3{,}6].
  3. k=3: m=\dfrac{3{,}4+3{,}6}{2}=3{,}5.
    f(3{,}5)=42{,}875-85{,}75+49-6=0{,}125>0.
    Novo intervalo: [3{,}4,3{,}5].
  4. k=4: m=\dfrac{3{,}4+3{,}5}{2}=3{,}45.
    f(3{,}45)=41{,}063625-83{,}3175+48{,}3-6=0{,}046125>0.
    Novo intervalo: [3{,}4,3{,}45].
  5. k=5: m=\dfrac{3{,}4+3{,}45}{2}=3{,}425.
    f(3{,}425)=40{,}177390625-82{,}114375+47{,}95-6=0{,}013015625>0.
    Novo intervalo: [3{,}4,3{,}425].
  6. k=6: m=\dfrac{3{,}4+3{,}425}{2}=3{,}4125.
    f(3{,}4125)=39{,}739095703125-81{,}51609375+47{,}775-6=-0{,}001998046875<0.
    Novo intervalo: [3{,}4125,3{,}425].
  7. k=7: m=\dfrac{3{,}4125+3{,}425}{2}=3{,}41875.
    f(3{,}41875)\approx0{,}006342529296875>0.
    Novo intervalo: [3{,}4125,3{,}41875].
  8. k=8: m=\dfrac{3{,}4125+3{,}41875}{2}=3{,}415625.
    f(3{,}415625)\approx0{,}0016 (positivo).
    Novo intervalo: [3{,}4125,3{,}415625].
  9. k=9: m=\dfrac{3{,}4125+3{,}415625}{2}=3{,}4140625.
    f(3{,}4140625)\approx-0{,}000176907539999 (negativo).
    Novo intervalo: [3{,}4140625,3{,}415625].
  10. k=10: m=\dfrac{3{,}4140625+3{,}415625}{2}=3{,}41484375.
    f(3{,}41484375) é positivo (aprox 7{,}3\cdot10^{-4}).
    Novo intervalo: [3{,}4140625,3{,}41484375].
  11. k=11: m=\dfrac{3{,}4140625+3{,}41484375}{2}=3{,}414453125.
    f(3{,}414453125) é positivo (aprox 2{,}8\cdot10^{-4}).
    Novo intervalo: [3{,}4140625,3{,}414453125].
  12. k=12: m=\dfrac{3{,}4140625+3{,}414453125}{2}=3{,}4142578125.
    Estimativa via linearização: f(3{,}4142578125)\approx+5{,}17\cdot10^{-5} (positivo, ligeiramente maior que o limiar).
    Como |f(m)| ainda é maior que 0{,}00005, continua.
    Novo intervalo: [3{,}4140625,3{,}4142578125].
  13. k=13: m=\dfrac{3{,}4140625+3{,}4142578125}{2}=3{,}41416015625.
    Estimativa: f(3{,}41416015625)\approx-6{,}25\cdot10^{-5} (negativo, ainda em módulo maior que 5\cdot10^{-5}).
    Novo intervalo: [3{,}41416015625,3{,}4142578125].
  14. k=14: m=\dfrac{3{,}41416015625+3{,}4142578125}{2}=3{,}414208984375.
    Calcular f(3{,}414208984375). Usando avaliação com precisão dupla (ou aproximação série direta) obtém-se
f(3{,}414208984375)\approx-5{,}36339042866985\cdot10^{-6},
portanto |f(3{,}414208984375)|\approx5{,}36339042866985\cdot10^{-6}<0{,}00005. \] Nesse momento o critério de parada \(|f(m)|<0{,}00005 é satisfeito.)

Passo 5

Interpretação final dos resultados: após k=14 iterações o método da bisseção fornece como aproximação da raiz
x_m=3{,}414208984375
com |f(x_m)|\approx5{,}36339042866985\cdot10^{-6}, que é menor que o limiar 0{,}00005. Assim o procedimento converge dentro do critério pedido e a solução é a aproximada indicada.

Resposta

a.

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