Questão 2
Resposta salva
Vale 1,00 ponto(s).
Marcar questão
Dada a seguinte função
e usando o método de Newton com
e critério de parada
, temos os seguintes resultados para raiz, número de iterações e precisão da solução, respectivamente (realize as operações com pelo menos 10 dígitos significativos após a vírgula e arredondamento apropriado):
Escolha uma opção:
◯ C.
◯ a.
◯ b. Estimativa inicial de
não converge para solução
◯ d.
◯ e.
Limpar minha escolha
Vale 1,00 ponto(s).
Marcar questão
◯ C.
◯ a.
◯ b. Estimativa inicial de
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado nos dá claramente:
- A função:
. - O método a usar: método de Newton (iterativo).
- Estimativa inicial:
. - Critério de parada:
.
O que o problema pede: retornar a raiz encontrada (valor de), o número de iterações até que o critério seja satisfeito, e a precisão da solução (valor de no ponto final).
Todas as operações devem ser feitas com pelo menos 10 dígitos após a vírgula e com arredondamento apropriado.
Passo 2
Vou relembrar e explicar o método de Newton, passo a passo e de forma direta.
- Ideia: a cada iteração aproximamos
por sua reta tangente em e usamos a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - Fórmula do método de Newton:
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é o valor da função nessa aproximação; -
é a derivada de em ; -
é a nova aproximação.
No nosso caso, devemos calcular também a derivada de:
Vou aplicar essa fórmula iterativamente, sempre arredondando os resultados intermediários para 10 casas decimais (apenas os valores apresentados), e verificando o critério
após cada iteração.
Passo 3
Primeira iteração a partir de
.
Calcular e
:
Calcular
(arredondei para 10 casas decimais).
Agora a fórmula de Newton:
Observação: aqui
e
são iguais (até a precisão usada), por isso
exatamente (com as casas decimais usadas).
Passo 4
Segunda iteração a partir de
.
Calcular e
:
Calcular
Aplicando Newton:
Verifico o critério:
será calculado na próxima iteração; claramente
(ainda não convergiu).
Passo 5
Terceira iteração a partir de
.
Primeiro calculo com 10 casas:
Primeiro calculo
Calculo
e
:
Agora a razão:
(arredondei o quociente para 10 casas).
Aplicando Newton:
Aplicando Newton:
Passo 6
Quarta iteração a partir de
.
Preciso do . Calculei com expansão e arredondei a 10 casas:
Preciso do
Agora:
Quociente:
(arredondei para 10 casas).
Aplicando Newton:
Aplicando Newton:
Somando com precisão:
(Arredondei o resultado para 10 casas:
.)
Passo 7
Quinta iteração a partir de
.
Calculo com 10 casas:
Calculo
Agora:
Quociente:
Aplicando Newton:
Arredondei para 10 casas:
.
Passo 8
Sexta iteração (verificação final) a partir de
.
Calculo com 10 casas:
Calculo
ainda maior que
. Portanto é necessário continuar mais uma iteração.
Passo 9
Sétima iteração a partir de
(continuando até a tolerância).
Calculo mais uma iteração (com arredondamentos para 10 casas nas quantidades apresentadas). Usando a fórmula:
Calculo mais uma iteração (com arredondamentos para 10 casas nas quantidades apresentadas). Usando a fórmula:
- calcula-se
e e então
Fazendo essa iteração (cálculos arredondados a 10 casas) obtém-se
Agora calculo
com 10 casas:
o que satisfaz o critério
.
Observação didática: note que Newton exibiu convergência rápida (quadrática) quando já está próximo da raiz; isto é típico do método quando
e
é razoavelmente bom.