Questão 6-Os resultados obtidos por dois analistas para o conteúdo de carbono em um composto orgânico são mostrados abaixo.
Analista 1: 49,32; 49,41; 49,66; 49,45
Analista 2: 49,09;49,08;49,25;49,13;49,10;49,19
Diante dos resultados obtidos, analise as afirmativas (I a IV) e, a seguir, assinale a alternativa correta.
I - Foi cometido um erro grosseiro na obtenção do resultado 49,25 e, por isso, ele deverá ser rejeitado do conjunto de dados obtidos pelo Analista 2, com 95% de confiança.
II - Os resultados obtidos pelo Analista 2 foram mais precisos do que aqueles obtidos pelo Analista 1.
III - As médias obtidas pelos dois analistas são estatisticamente iguais, a um nível de confiança de 95 \%.
IV - A mediana dos resultados obtidos pelo Analista 1 é 49,43 e pelo Analista 2 é 49,12.
◯ Apenas a afirmativa I está correta.
◯ As afirmativas I e III estão corretas.
◯ As afirmativas II e III estão corretas.
◯ As afirmativas II e IV estão corretas.
◯ As afirmativas III e IV estão corretas.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que cada afirmativa diz.
Dados (peguei-os do enunciado):
  • Resultados do Analista 1: 49{,}32,\;49{,}41,\;49{,}66,\;49{,}45.
  • Resultados do Analista 2: 49{,}09,\;49{,}08,\;49{,}25,\;49{,}13,\;49{,}10,\;49{,}19.
As afirmativas a avaliar:
  • I: O valor 49{,}25 é um erro grosseiro e deve ser rejeitado do conjunto do Analista 2 com 95\% de confiança.
  • II: Os resultados do Analista 2 foram mais precisos do que os do Analista 1.
  • III: As médias dos dois analistas são estatisticamente iguais ao nível de confiança de 95\%.
  • IV: A mediana do Analista 1 é 49{,}43 e do Analista 2 é 49{,}12.
Objetivo: verificar, com contas e testes apropriados, se cada afirmativa é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Verificação da afirmativa I (teste de outlier para 49{,}25) — explicação do método e cálculo.
Breve aula: Um teste simples e comum para detectar um possível valor discrepante em uma amostra pequena é o teste de Dixon (também chamado de Q-test). Para suspeitar que o maior valor é outlier, calcula-se
Q=\frac{\text{gap}}{\text{range}},
onde \text{gap}= diferença entre o maior valor e o 2.º maior; \text{range}= maior menos o menor. Se Q for maior que o valor crítico Q_{\text{crit}} para a amostra e nível de confiança escolhidos, rejeita-se o ponto. Para n=6 e nível de 95\% (alfa =0{,}05), Q_{\text{crit}}\approx 0{,}56 (tabela de Dixon).
Agora aplicando aos dados do Analista 2. Primeiro ordeno os valores (usei os números do enunciado):
49{,}08,\;49{,}09,\;49{,}10,\;49{,}13,\;49{,}19,\;49{,}25.
Calculo gap e range:
\text{gap}=49{,}25-49{,}19=0{,}06, \qquad \text{range}=49{,}25-49{,}08=0{,}17.
Portanto
Q=\frac{0{,}06}{0{,}17}\approx0{,}3529.
Comparando com a tabela: Q\approx0{,}353< Q_{\text{crit}}(0{,}56). Conclusão do teste de Dixon: não há evidência suficiente para rejeitar 49{,}25 como erro grosseiro ao nível de 95\%.
Observação alternativa (aula curta): outro teste seria o teste de Grubbs (baseado em desvio em unidades de desvio-padrão). Aplica-se mas também daria que o suspeito não é significante aqui. Portanto a afirmativa I é falsa.

Passo 3

Verificação da afirmativa II (comparar precisão entre analistas) — definição, fórmulas e cálculo.
Aula: “Precisão” em estatística de medidas refere-se à dispersão dos resultados — geralmente medida pelo desvio-padrão amostral s (ou variância s^2). Menor s significa maior precisão. A fórmula do desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde \bar{x} é a média amostral e n o número de observações.
Calculo para o Analista 1 (usei os quatro valores do enunciado).
  • Soma e média:
\text{soma}_1=49{,}32+49{,}41+49{,}66+49{,}45=197{,}84, \qquad \bar{x}_1=\frac{197{,}84}{4}=49{,}46.
  • Soma dos quadrados dos desvios:
\begin{aligned} (49{,}32-\bar{x}_1)^2&=( -0{,}14)^2=0{,}0196,\\\ (49{,}41-\bar{x}_1)^2&=( -0{,}05)^2=0{,}0025,\\\ (49{,}66-\bar{x}_1)^2&=( 0{,}20)^2=0{,}0400,\\\ (49{,}45-\bar{x}_1)^2&=( -0{,}01)^2=0{,}0001. \end{aligned}
Soma =0{,}0622. Logo
s_1=\sqrt{\frac{0{,}0622}{4-1}}=\sqrt{0{,}020733\ldots}\approx0{,}1440.
Calculo para o Analista 2 (usei os seis valores do enunciado).
  • Soma e média:
\text{soma}_2=294{,}84,\qquad \bar{x}_2=\frac{294{,}84}{6}=49{,}14.
  • Soma dos quadrados dos desvios (já mostrada no cálculo):
\sum (x_i-\bar{x}_2)^2=0{,}0224,
logo
s_2=\sqrt{\frac{0{,}0224}{6-1}}=\sqrt{0{,}00448}\approx0{,}0669.
Comparação: s_1\approx0{,}1440 e s_2\approx0{,}0669. Como s_2<s_1, os resultados do Analista 2 são numericamente mais precisos (menor dispersão). Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
Observação: se desejasse uma prova estatística formal poderia-se aplicar um teste F para variâncias, mas para esta questão a comparação direta dos s já mostra que o Analista 2 tem menor dispersão, ou seja, maior precisão.

Passo 4

Verificação da afirmativa III (médias estatisticamente iguais ao nível 95\%) — hipótese, escolha do teste e cálculo.
Aula: Para comparar médias de duas amostras independentes com variâncias possivelmente diferentes usa-se o teste t de Welch. Hipóteses:
H_0:\\ \mu_1=\mu_2,\qquad H_a:\\ \mu_1\neq\mu_2.
A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}.
Os graus de liberdade aproximados são dados pela fórmula de Welch:
\nu\approx\frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2} {\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}.
Reuso os valores calculados:
\bar{x}_1=49{,}46,\; n_1=4,\; s_1^2\approx0{,}02073, \qquad \bar{x}_2=49{,}14,\; n_2=6,\; s_2^2\approx0{,}00448.
Diferença de médias:
\bar{x}_1-\bar{x}_2=49{,}46-49{,}14=0{,}32.
Denominador do t:
\sqrt{\dfrac{0{,}02073}{4}+\dfrac{0{,}00448}{6}} =\sqrt{0{,}00518325+0{,}0007467} =\sqrt{0{,}00592995}\approx0{,}07701.
Logo
t\approx\frac{0{,}32}{0{,}07701}\approx4{,}16.
Agora graus de liberdade (Welch):
\begin{aligned} \text{num} &=\left(0{,}00592995\right)^2\approx3{,}515\times10^{-5},\\\ \text{den} &=\frac{(0{,}00518325)^2}{3}+\frac{(0{,}0007467)^2}{5} \approx8{,}955\times10^{-6}+1{,}115\times10^{-7}\approx9{,}067\times10^{-6},\\\ \nu&\approx\frac{3{,}515\times10^{-5}}{9{,}067\times10^{-6}}\approx3{,}88. \end{aligned}
Portanto \nu\approx3{,}9 (aproximadamente 4 graus de liberdade). O valor crítico t_{0{,}025,\nu} (bicaudal, nível 95\%) para \nu\approx4 é cerca de 2{,}776. Como t\approx4{,}16>2{,}776, rejeitamos H_0: as médias são estatisticamente diferentes ao nível de 95\%.
Conclusão: a afirmativa III é falsa.

Passo 5

Verificação da afirmativa IV (medianas).
Aula curta: A mediana é o valor central da amostra ordenada. Para n par, a mediana é a média dos dois valores centrais.
Analista 1 (ordenando): 49{,}32,\;49{,}41,\;49{,}45,\;49{,}66. Como n_1=4 (par), a mediana é
\text{mediana}_1=\frac{49{,}41+49{,}45}{2}=\frac{98{,}86}{2}=49{,}43.
Analista 2 (ordenando): 49{,}08,\;49{,}09,\;49{,}10,\;49{,}13,\;49{,}19,\;49{,}25. Como n_2=6, a mediana é a média do 3.º e 4.º:
\text{mediana}_2=\frac{49{,}10+49{,}13}{2}=\frac{98{,}23}{2}=49{,}115.
Arredondando a duas casas decimais (como a afirmativa usou duas casas), 49{,}115\approx49{,}12. Portanto a afirmativa IV está correta (medianas 49{,}43 e 49{,}12).

Passo 6

Resumo das veredades:
  • I: falsa (teste de outlier mostrou que 49{,}25 não deve ser rejeitado a 95\%).
  • II: verdadeira (Analista 2 tem menor desvio-padrão, logo maior precisão).
  • III: falsa (teste t de Welch rejeita igualdade das médias ao nível 95\%).
  • IV: verdadeira (medianas calculadas: 49{,}43 e 49{,}115\approx49{,}12).
Portanto as afirmativas corretas são II e IV.

Resposta

As afirmativas II e IV estão corretas.

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