Questão 3. Um robô move-se segundo
. Em quantos instantes reais t ele está na posição
?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Passo 1
O enunciado dá a lei do movimento do robô
e pergunta em quantos instantes reais
temos
.
Conteúdo: determinação do número de raízes reais de um polinômio de grau 3 usando análise de sinais e extremos.
Conteúdo: determinação do número de raízes reais de um polinômio de grau 3 usando análise de sinais e extremos.
Passo 2
Para encontrar os instantes em que
, montamos a equação
É um polinômio cúbico, logo pode ter 1 ou 3 raízes reais. Vamos determinar quantas usando o Teorema de Bolzano e o estudo dos extremos.
Passo 3
Calculamos a derivada para achar possíveis máximos e mínimos locais:
Os pontos críticos são
e
. Avaliamos
nesses pontos:
— Em
:
— Em
:
Passo 4
Como
quando
e
quando
, e temos uma passagem de negativo para positivo e de positivo para negativo em torno dos extremos, o gráfico de
cruza o eixo
três vezes:
- Uma raiz em
(pois e ). - Uma raiz entre
e (pois e ). - Uma raiz em
(pois e ).
Logo há três soluções reais.
Resposta
(C) 3