Questão 3. Um robô move-se segundo d(t)=t \square-6 t^{2}+5. Em quantos instantes reais t ele está na posição \mathrm{d}=0 ?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

Passo 1

O enunciado dá a lei do movimento do robô
d(t)=t^{3}-6\,t^{2}+5
e pergunta em quantos instantes reais t temos d(t)=0.
Conteúdo: determinação do número de raízes reais de um polinômio de grau 3 usando análise de sinais e extremos.

Passo 2

Para encontrar os instantes em que d(t)=0, montamos a equação
t^{3}-6\,t^{2}+5=0.
É um polinômio cúbico, logo pode ter 1 ou 3 raízes reais. Vamos determinar quantas usando o Teorema de Bolzano e o estudo dos extremos.

Passo 3

Calculamos a derivada para achar possíveis máximos e mínimos locais:
d'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(t^{3}-6t^{2}+5\bigr) =3\,t^{2}-12\,t =3\,t(t-4).
Os pontos críticos são t=0 e t=4. Avaliamos d nesses pontos:
— Em t=0:
d(0)=0^{3}-6\cdot0^{2}+5=5>0.
— Em t=4:
d(4)=4^{3}-6\cdot4^{2}+5 =64-96+5=-27<0.

Passo 4

Como d(t)\to-\infty quando t\to-\infty e d(t)\to+\infty quando t\to+\infty, e temos uma passagem de negativo para positivo e de positivo para negativo em torno dos extremos, o gráfico de d(t) cruza o eixo t três vezes:
  1. Uma raiz em t<0 (pois d(-\infty)<0 e d(0)>0).
  2. Uma raiz entre 0 e 4 (pois d(0)>0 e d(4)<0).
  3. Uma raiz em t>4 (pois d(4)<0 e d(+\infty)>0).
Logo há três soluções reais.

Resposta

(C) 3

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