Questão 4. Sobre a equação irracional \sqrt{ }\left(x^{2}+4\right)=x-2, é correto afirmar que:
(A) Não possui raízes reais.
(B) Possui apenas uma raiz real.
(C) Possui duas raízes reais e distintas.
(D) É equivalente a uma equação do 2^{\circ} grau.
(E) É equivalente a uma equação do 1^{\circ} grau.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação irracional
\sqrt{x^{2}+4}=x-2
e pede para identificar quantas raízes reais ela possui ou a que tipo de equação ela equivale. Vamos usar restrição de domínio de equações com raíz quadrada e, em seguida, elevar ao quadrado para resolver.

Passo 2

Determinar o domínio da equação. O radicando x^{2}+4 é sempre não negativo para todo x, mas a saída da raiz deve ser igual a x-2, que precisa ser não negativa. Logo,
x-2\ge0\quad\Longrightarrow\quad x\ge2.
Portanto, qualquer solução deve satisfazer x\ge2.

Passo 3

Com a restrição x\ge2 garantida, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x^{2}+4=(x-2)^{2}.

Passo 4

Expandindo o quadrado no segundo membro:
(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4,
logo
x^{2}+4 = x^{2}-4x+4.
Cancelando x^{2} em ambos os lados, obtemos
4 = -4x + 4.

Passo 5

Isolando x:
4 = -4x + 4 \quad\Longrightarrow\quad -4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.
Porém x=0 não satisfaz a condição x\ge2 estabelecida no domínio.

Resposta

(A) Não possui raízes reais.

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