5 Resolva os PVIs
(x^3-y) d x+x d y=0, y(1)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
(x^3-y),dx + x,dy = 0, y(1)=3
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. Vamos checar exatidão e, se necessário, usar fator de integração.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=x^3-y, N(x,y)=x
Calculamos
partial Mpartial y=-1, partial Npartial x=1,
logo partial M/partial yneqpartial N/partial x e a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator de integração mu(x) dependendo só de x. Usamos
partial M/partial y - partial N/partial xN =-1-1x=-2x,
que é função só de x. Assim
mu(x)=exp!l(integral -tfrac2x,dxr) =exp(-2ln|x|) = x^-2

Passo 4

Multiplicando a equação original por x^-2 obtemos
l(x^3-yr)x^-2,dx + xcdot x^-2,dy = 0 ;Longrightarrow; l(x - tfracyx^2r),dx + tfrac1x,dy = 0
Agora tildeM(x,y)=x - yx^2 e tildeN(x,y)=1x satisfazem
partial tildeM/partial y=-1x^2=partial tildeN/partial x, é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phi/partial x = x - yx^2. Integrando em x:
phi(x,y)=integrall(x - tfracyx^2r),dx =x^22 + yx + h(y)
Derivando em y:
partial phipartial y =1x+h'(y)
deve coincidir com tildeN(x,y)=1x. Logo h'(y)=0 e h é constante. A solução implícita é
phi(x,y)=x^22+yx=C

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=3:
1^22 + 31 = 12+3 = 72 ;Longrightarrow; C=72

Resposta

A solução explícita do PVI é
x^22+yx=72 Longrightarrow y=7x - x^32

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