5 Resolva os PVIs
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial
. Vamos checar exatidão e, se necessário, usar fator de integração.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
logo
e a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator de integração
dependendo só de
. Usamos
que é função só de
. Assim
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora
e
satisfazem
, é exata.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
. Integrando em
:
Derivando em
:
deve coincidir com
. Logo
e
é constante. A solução implícita é
Passo 6
Usamos a condição inicial
:
Resposta
A solução explícita do PVI é