Questão 2-Sabendo que o campo vetorial F(x, y)=(2 x y, x^2-3 y^2) é conservativo, determine sua função potencial.

Passo 1

O enunciado pede para achar a função potencial de um campo conservativo, ou seja, uma função phi(x,y) tal que nablaphi=vec F. Estamos em um curso de cálculo vetorial, e vamos usar a definição de campo conservativo e integração parcial para encontrar phi.

Passo 2

Como vec F=(F1,F2)=(2xy,,x^2-3y^2) e sabemos que F1=dfracpartialphipartial x, integramos F1 em relação a x:

Passo 3

phi(x,y)=integral 2xy,dx= x^2y + g(y)
Aqui g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Em seguida, usamos F2=dfracpartialphipartial y. Calculamos a derivada de phi em relação a y:

Passo 5

dfracpartialphipartial y= x^2 + g'(y)
Isso deve igualar F2=x^2-3y^2.

Passo 6

Igualando as expressões:

Passo 7

x^2 + g'(y)=x^2 - 3y^2
Logo,

Passo 8

g'(y)=-3y^2
Integrando em relação a y:

Passo 9

g(y)=integral -3y^2,dy = -y^3 + C

Passo 10

Substituindo de volta em phi(x,y), obtemos:

Passo 11

phi(x,y)=x^2y - y^3 + C

Passo 12

Como a constante C não afeta o gradiente, a função potencial mais simples é phi(x,y)=x^2y - y^3.

Resposta

phi(x,y)=x^2y - y^3 + C, e desprezando a constante de integração fica phi(x,y)=x^2y - y^3.

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