Questão-7. Sabendo-se que os vetores u, v, w formam dois a dois, ângulo de 60^circ e são, tais que: |u|=4,|v|=2 e |w|=1. Determine:
a) |u+v+w|
b) ang(u+v, v-w)

Passo 1

O enunciado diz que temos três vetores u,v,w de normas |u|=4, |v|=2, |w|=1 e que cada par forma ângulo de 60^circ. O conteúdo aqui envolve produto escalar e norma de soma de vetores, além da fórmula do ângulo entre vetores. Vamos usar:
ucdot v=|u|,|v|cos60^circ;
|a+b|^2=(a+b)cdot(a+b);
costheta=dfracacdot b|a|,|b|.

Passo 2

Para encontrar |u+v+w|, computamos:
|u+v+w|^2=(u+v+w)cdot(u+v+w)=|u|^2+|v|^2+|w|^2+2(ucdot v+ucdot w+vcdot w)
Substituindo:
|u|^2+|v|^2+|w|^2=16+4+1=21,
ucdot v=4cdot2cdottfrac12=4, ucdot w=4cdot1cdottfrac12=2, vcdot w=2cdot1cdottfrac12=1,
2(4+2+1)=14,
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|u+v+w|^2=21+14=35
e
|u+v+w|=raiz35

Passo 3

Para achar o ângulo alpha=ang(u+v,,v-w), primeiro calculamos o produto escalar
(u+v)cdot(v-w)=ucdot v - ucdot w + vcdot v - vcdot w=4-2+4-1=5
Em seguida, as normas:
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2ucdot v=16+4+8=28implies|u+v|=2raiz7,
|v-w|^2=|v|^2+|w|^2-2vcdot w=4+1-2=3implies|v-w|=raiz3
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cosalpha=5(2raiz7)(raiz3)=52raiz21Longrightarrow alpha=arccosl(52raiz21r)

Resposta

a) raiz35
b) arccosl(tfrac52raiz21r)

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