Sabendo que , onde são constantes reais, é uma família a dois parâmetros de soluções da equação , encontre uma solução do problema de valor inicial
em que x0, y0 e y1 são dados abaixo. Em seguida determine o maior intervalo de definição desta solução e esboce a curva integral correspondente a ela no plano x y. x0=-1, y0=5, y1=-5
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial $ y’’ - y = 0 $ e uma solução geral dada por $ y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{-x} $, onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que a gente precisa encontrar. O problema também nos dá condições iniciais: no ponto $ x_{0} = -1 $, $ y = 5 $ e a derivada $ y’ = -5 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essas condições para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a condição $ y(x_{0}) = y_{0} $. Sabemos que $ x_{0} = -1 $ e $ y_{0} = 5 $. Vamos substituir esses valores na solução geral:
y(x0) = y0
Isso nos dá uma equação envolvendo $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Passo 3
Agora, precisamos usar a segunda condição, que envolve a derivada da função: $ y’(x_{0}) = y_{1} = -5 $. Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y(x) $:
y'(x0) = y1 = -5
Substituindo $ x_{0} = -1 $ e $ y_{1} = -5 $:
y(x)
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
y'(x) = C1 e^x - C2 e^-x
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, somamos as duas equações para eliminar $ C_{2} $:
Agora que sabemos que $ C_{1} = 0 $, substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar $ C_{2} $. Vamos na primeira equação:
C1 = 0
C2
5 = 0 cdot e^-1 + C2 e^1
Passo 6
Com os valores de $ C_{1} $ e $ C_{2} $ determinados, podemos escrever a solução específica do problema de valor inicial:
C1
Passo 7
Agora, vamos determinar o maior intervalo de definição dessa solução. A função $ e^{-x} $ está definida para todos os valores reais de $ x $, então o intervalo de definição é:
e^-x
Passo 8
Por fim, vamos esboçar a curva da solução no plano $ xy $. A função $ y(x) = \frac{5}{e} e^{-x} $ é uma exponencial decrescente. No ponto $ x = -1 $, $ y = 5 $, e à medida que $ x $ aumenta, $ y $ diminui exponencialmente em direção a zero, mas nunca toca o eixo $ x $.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é $ y(x) = \frac{5}{e} e^{-x} $, válida para todo $ x $ real, ou seja, no intervalo $ (-\infty, +\infty) $. O gráfico dessa solução é uma curva exponencial decrescente que passa pelo ponto y(x) = 5e e^-x e se aproxima do eixo $ x $ à medida que $ x $ aumenta.