Sabendo que y(x)=C1 e^x+C2 e^-x, onde C1, C2 são constantes reais, é uma família a dois parâmetros de soluções da equação y^prime prime-y=0, encontre uma solução do problema de valor inicial
l y^prime prime-y=0 y(x0)=y0 y^prime(x0)=y1
em que x0, y0 e y1 são dados abaixo. Em seguida determine o maior intervalo de definição desta solução e esboce a curva integral correspondente a ela no plano x y.
x0=y0=y1=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
y''-y=0
cuja solução geral é
y(x)=C1e^x+C2e^-x.
O problema de valor inicial impõe as condições em x0=0:
y(0)=0 e y'(0)=0.
Precisamos determinar C1 e C2, achar a solução particular, identificar o maior intervalo de definição e esboçar a curva correspondente.

Passo 2

Aplicamos y(0)=0. Como
y(0)=C1+C2,
segue
C1+C2=0
Em seguida, y'(x)=C1e^x-C2e^-x, de modo que y'(0)=0
C1-C2=0

Passo 3

Resolvendo o sistema
C1+C2=0, C1-C2=0,
obtemos C1=0 e C2=0.

Passo 4

Substituindo em y(x)=C1e^x+C2e^-x, fica
y(x)=0
Como os coeficientes da equação são contínuos em toda reta, o maior intervalo de definição é (-infty,infty).

Passo 5

A curva integral é a reta horizontal y=0 no plano xy, pois a solução é identicamente nula.

Resposta

y(x)=0, para todo xin(-infty,infty)
O esboço da curva integral é a reta horizontal y=0 no plano xy.

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