Sabendo que , onde são constantes reais, é uma família a dois parâmetros de soluções da equação , encontre uma solução do problema de valor inicial
em que x0, y0 e y1 são dados abaixo. Em seguida determine o maior intervalo de definição desta solução e esboce a curva integral correspondente a ela no plano x y.
x0=y0=y1=0
Passo 1
Temos a equação diferencial
y''-y=0
cuja solução geral é y(x)=C1e^x+C2e^-x.
O problema de valor inicial impõe as condições em x0=0: y(0)=0 e y'(0)=0.
Precisamos determinar C1 e C2, achar a solução particular, identificar o maior intervalo de definição e esboçar a curva correspondente.
Passo 2
Aplicamos y(0)=0. Como
y(0)=C1+C2,
segue
C1+C2=0
Em seguida, y'(x)=C1e^x-C2e^-x, de modo que y'(0)=0 dá
C1-C2=0
Passo 3
Resolvendo o sistema
C1+C2=0, C1-C2=0,
obtemos C1=0 e C2=0.
Passo 4
Substituindo em y(x)=C1e^x+C2e^-x, fica
y(x)=0
Como os coeficientes da equação são contínuos em toda reta, o maior intervalo de definição é (-infty,infty).
Passo 5
A curva integral é a reta horizontal y=0 no plano xy, pois a solução é identicamente nula.
Resposta
y(x)=0, para todo xin(-infty,infty)
O esboço da curva integral é a reta horizontal y=0 no plano xy.