(Questão 6 - Seção 5.4 - Magalhães) Sendo X e Y \sim N(0,1) independentes, calcule a função geradora de momentos de W=\frac{1}{2}(X-Y)^{2} e identifique sua distribuição.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a função geradora de momentos de W=\frac{1}{2}(X-Y)^{2} e identificar a distribuição de W. As informações dadas são:
X\sim N(0,1),\qquad Y\sim N(0,1),
sendo X e Y independentes, e
W=\tfrac{1}{2}(X-Y)^{2}.

Passo 2

Vamos primeiro entender a distribuição de X-Y. Para variáveis normais independentes a diferença também é normal, com média igual à diferença das médias e variância igual à soma das variâncias. Aqui as médias são 0 e as variâncias são 1, então:
\mathbb{E}[X-Y]=0-0=0,
\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(-Y)=1+1=2.
Logo definindo V:=X-Y temos
V\sim N(0,2).
Explicação rápida do porquê: quando somamos ou subtraímos independentes N(\mu_1,\sigma_1^2) e N(\mu_2,\sigma_2^2), a média soma/subtrai e a variância soma, porque \operatorname{Var}(aY)=a^{2}\operatorname{Var}(Y) e covariância é zero pela independência.

Passo 3

Escrevemos V em termos de uma normal padrão. Seja
Z:=\frac{V}{\sqrt{2}}.
Como V\sim N(0,2), segue que Z\sim N(0,1). Agora escrevemos W em função de Z:
W=\tfrac{1}{2}V^{2}=\tfrac{1}{2}\big(\sqrt{2}Z\big)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 2 Z^{2}=Z^{2}.
Portanto W é exatamente o quadrado de uma normal padrão: W=Z^{2} com Z\sim N(0,1).

Passo 4

Vamos calcular a função geradora de momentos de W:
M_{W}(t)=\mathbb{E}\big[e^{tW}\big]=\mathbb{E}\big[e^{tZ^{2}}\big].
Para calcular essa esperança usamos a densidade da normal padrão e a integral gaussiana. Temos
M_{W}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{t z^{2}} e^{-z^{2}/2}\,dz =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\tfrac{1}{2}-t)z^{2}}\,dz.
Para que a integral converja precisamos de \tfrac{1}{2}-t>0, ou seja t<\tfrac{1}{2}. Usando a integral gaussiana \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha z^{2}}\,dz=\sqrt{\pi/\alpha} para \alpha>0, com \alpha=\tfrac{1}{2}-t, obtemos
M_{W}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{\pi}{\tfrac{1}{2}-t}} =\frac{1}{\sqrt{1-2t}}, \qquad t<\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Interpretando o resultado: a função geradora de momentos que encontramos,
M_{W}(t)=\big(1-2t\big)^{-1/2},\quad t<\tfrac{1}{2},
é precisamente a MGF da distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Lembrete: a MGF de \chi^{2}_{\nu} é (1-2t)^{-\nu/2}, então para \nu=1 obtemos o expoente -1/2. Outra forma padrão de descrever essa distribuição é dizer que W\sim\Gamma\big(\tfrac{1}{2},2\big) (parâmetros formais shape k=\tfrac{1}{2} e scale \theta=2), que é equivalente a \chi^{2}_{1}.

Resposta

M_{W}(t)=\big(1-2t\big)^{-1/2},\quad t<\tfrac{1}{2}.
W\sim \chi^{2}_{1} (equivalentemente W\sim \Gamma\big(\tfrac{1}{2},2\big)).

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