(Questão 6 - Seção 5.4 - Magalhães) Sendo
e
independentes, calcule a função geradora de momentos de
e identifique sua distribuição.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a função geradora de momentos de
e identificar a distribuição de
. As informações dadas são:
sendo
e
independentes, e
Passo 2
Vamos primeiro entender a distribuição de
. Para variáveis normais independentes a diferença também é normal, com média igual à diferença das médias e variância igual à soma das variâncias. Aqui as médias são
e as variâncias são
, então:
Logo definindo
temos
Explicação rápida do porquê: quando somamos ou subtraímos independentes
e
, a média soma/subtrai e a variância soma, porque
e covariância é zero pela independência.
Passo 3
Escrevemos
em termos de uma normal padrão. Seja
Como
, segue que
. Agora escrevemos
em função de
:
Portanto
é exatamente o quadrado de uma normal padrão:
com
.
Passo 4
Vamos calcular a função geradora de momentos de
:
Para calcular essa esperança usamos a densidade da normal padrão e a integral gaussiana. Temos
Para que a integral converja precisamos de
, ou seja
. Usando a integral gaussiana
para
, com
, obtemos
Passo 5
Interpretando o resultado: a função geradora de momentos que encontramos,
é precisamente a MGF da distribuição qui-quadrado com
grau de liberdade. Lembrete: a MGF de
é
, então para
obtemos o expoente
. Outra forma padrão de descrever essa distribuição é dizer que
(parâmetros formais shape
e scale
), que é equivalente a
.