(Questão 7 - Seção 5.4 - Magalhães) Sendo X_{1}, X_{2} \sim N(0,1) independentes, defina as variáveis Y_{1}=X_{1}+X_{2} e Y_{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}.
(a) Mostre que a função geradora de momentos conjunta de Y_{1} e Y_{2} é dada por
\frac{\mathrm{e}^{\left[t_{1}^{2} /\left(1-2 t_{2}\right)\right]}}{\left(1-2 t_{2}\right)} ;-\infty<t_{1}<\infty, \infty<t_{2}<\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá que X_{1},X_{2} são independentes e identicamente distribuídas segundo N(0,1). Definimos
Y_{1}=X_{1}+X_{2},\qquad Y_{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}.
O que se pede é calcular a função geradora de momentos conjunta
M_{Y_{1},Y_{2}}(t_{1},t_{2})=\mathbb{E}\big[\mathrm{e}^{\,t_{1}Y_{1}+t_{2}Y_{2}}\big]
e mostrar que ela é igual a
\frac{\mathrm{e}^{\left[t_{1}^{2} /\left(1-2 t_{2}\right)\right]}}{\left(1-2 t_{2}\right)}
no domínio apropriado. Informações relevantes: densidade de X\sim N(0,1) é \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-x^{2}/2} e X_{1},X_{2} são independentes.

Passo 2

Escrevo a definição da mgf conjunta e substituo Y_{1},Y_{2} em termos de X_{1},X_{2}:
M_{Y_{1},Y_{2}}(t_{1},t_{2})=\mathbb{E}\big[\mathrm{e}^{\,t_{1}(X_{1}+X_{2})+t_{2}(X_{1}^{2}+X_{2}^{2})}\big].
Como a expressão fatoriza entre X_{1} e X_{2} e as variáveis são independentes, uso \mathbb{E}[AB]=\mathbb{E}[A]\mathbb{E}[B] quando A depende só de X_{1} e B só de X_{2}. Assim
M_{Y_{1},Y_{2}}(t_{1},t_{2})=\bigg(\mathbb{E}\big[\mathrm{e}^{\,t_{1}X+t_{2}X^{2}}\big]\bigg)^{2},
onde X é uma cópia de X_{1} (ou X_{2}) com distribuição N(0,1). Portanto basta calcular m(t_{1},t_{2})=\mathbb{E}\big[\mathrm{e}^{\,t_{1}X+t_{2}X^{2}}\big].

Passo 3

Escrevo m(t_{1},t_{2}) como integral usando a densidade de X:
m(t_{1},t_{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\,t_{2}x^{2}+t_{1}x}\mathrm{e}^{-x^{2}/2}\,dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\left(\tfrac{1}{2}-t_{2}\right)x^{2}+t_{1}x}\,dx.
Defino
\alpha=\frac{1}{2}-t_{2}.
Então o expoente interno é -\alpha x^{2}+t_{1}x.

Passo 4

Para que a integral acima convirja, a parte quadrática no expoente deve ser negativa (caso contrário o integrando cresce exponencialmente em |x|). Isso exige
\alpha>0\quad\Longleftrightarrow\quad t_{2}<\frac{1}{2}.
Portanto a região de validade será t_{2}<\tfrac{1}{2} (e t_{1}\in\mathbb{R} livre).

Passo 5

Faço o método clássico de completar o quadrado para reescrever o expoente. Tenho
-\alpha x^{2}+t_{1}x=-\alpha\Big(x^{2}-\frac{t_{1}}{\alpha}x\Big).
Completo o quadrado dentro do parêntese:
x^{2}-\frac{t_{1}}{\alpha}x=\Big(x-\frac{t_{1}}{2\alpha}\Big)^{2}-\Big(\frac{t_{1}}{2\alpha}\Big)^{2}.
Substituindo:
-\alpha x^{2}+t_{1}x=-\alpha\Big(x-\frac{t_{1}}{2\alpha}\Big)^{2}+\alpha\Big(\frac{t_{1}}{2\alpha}\Big)^{2} =-\alpha\Big(x-\frac{t_{1}}{2\alpha}\Big)^{2}+\frac{t_{1}^{2}}{4\alpha}.

Passo 6

Volto à integral e fatoro a constante \exp\big(t_{1}^{2}/(4\alpha)\big) para fora:
m(t_{1},t_{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{\,t_{1}^{2}/(4\alpha)}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\alpha\left(x-\frac{t_{1}}{2\alpha}\right)^{2}}\,dx.
A integral é a integral gaussiana padrão deslocada; para \alpha>0 vale
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\alpha(x-\text{shift})^{2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}.
Logo
m(t_{1},t_{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{\,t_{1}^{2}/(4\alpha)}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} =\frac{1}{\sqrt{2\alpha}}\mathrm{e}^{\,t_{1}^{2}/(4\alpha)}.

Passo 7

Substituo \alpha=\tfrac{1}{2}-t_{2}. Primeiro simplifico o fator fora do expoente:
\frac{1}{\sqrt{2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{2\big(\tfrac{1}{2}-t_{2}\big)}}=\frac{1}{\sqrt{1-2t_{2}}}.
Depois simplifico o expoente:
\frac{t_{1}^{2}}{4\alpha}=\frac{t_{1}^{2}}{4\left(\tfrac{1}{2}-t_{2}\right)}=\frac{t_{1}^{2}}{2(1-2t_{2})}.
Portanto
m(t_{1},t_{2})=\frac{1}{\sqrt{1-2t_{2}}}\,\mathrm{e}^{\,\dfrac{t_{1}^{2}}{2(1-2t_{2})}},\qquad t_{2}<\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Lembro que a mgf conjunta de Y_{1},Y_{2} é o quadrado de m(t_{1},t_{2}) (porque há duas cópias idênticas X_{1},X_{2}). Assim
M_{Y_{1},Y_{2}}(t_{1},t_{2})=\big(m(t_{1},t_{2})\big)^{2} =\frac{1}{1-2t_{2}}\;\mathrm{e}^{\,\dfrac{t_{1}^{2}}{1-2t_{2}}},
válido para t_{2}<\tfrac{1}{2} e t_{1}\in\mathbb{R}. Isso coincide com a expressão dada no enunciado.

Resposta

M_{Y_{1},Y_{2}}(t_{1},t_{2})=\frac{\mathrm{e}^{\left[\dfrac{t_{1}^{2}}{1-2 t_{2}}\right]}}{\left(1-2 t_{2}\right)},\qquad -\infty<t_{1}<\infty,\;-\infty<t_{2}<\frac{1}{2}

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