(Questão 7 - Seção 5.4 - Magalhães) Sendo
independentes, defina as variáveis
e
.
(a) Mostre que a função geradora de momentos conjunta de
e
é dada por
(a) Mostre que a função geradora de momentos conjunta de
Passo 1
O enunciado dá que
são independentes e identicamente distribuídas segundo
. Definimos
O que se pede é calcular a função geradora de momentos conjunta
e mostrar que ela é igual a
no domínio apropriado. Informações relevantes: densidade de
é
e
são independentes.
Passo 2
Escrevo a definição da mgf conjunta e substituo
em termos de
:
Como a expressão fatoriza entre
e
e as variáveis são independentes, uso
quando
depende só de
e
só de
. Assim
onde
é uma cópia de
(ou
) com distribuição
. Portanto basta calcular
.
Passo 3
Escrevo
como integral usando a densidade de
:
Defino
Então o expoente interno é
.
Passo 4
Para que a integral acima convirja, a parte quadrática no expoente deve ser negativa (caso contrário o integrando cresce exponencialmente em
). Isso exige
Portanto a região de validade será
(e
livre).
Passo 5
Faço o método clássico de completar o quadrado para reescrever o expoente. Tenho
Completo o quadrado dentro do parêntese:
Substituindo:
Passo 6
Volto à integral e fatoro a constante
para fora:
A integral é a integral gaussiana padrão deslocada; para
vale
Logo
Passo 7
Substituo
. Primeiro simplifico o fator fora do expoente:
Depois simplifico o expoente:
Portanto
Passo 8
Lembro que a mgf conjunta de
é o quadrado de
(porque há duas cópias idênticas
). Assim
válido para
e
. Isso coincide com a expressão dada no enunciado.