Questão 5 Seja
. Mostre que
não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos seguintes pares de operações sobre
e diga em cada caso, quais dos 8 axiomas não se verificam:
e
.
Passo 1
Vamos organizar o que temos e o que precisamos provar. O conjunto é
e as operações estão definidas por
Para ser espaço vetorial precisamos verificar 8 axiomas:
- Comutatividade da soma.
- Associação da soma.
- Existência de vetor zero.
- Existência de inverso aditivo.
- Distributividade de escalar sobre soma de vetores.
- Distributividade de soma de escalares sobre vetor.
- Associação de escalares
. - Identidade escalar
.
Passo 2
Testamos a comutatividade da soma. Para quaisquer
,
e
Como
e
, a soma é comutativa.
Logo, axioma 1 vale.
Logo, axioma 1 vale.
Passo 3
Testamos a associação da soma. Seja ainda
.
Primeiro :
Primeiro
então somar
dá
Por outro lado,
gera
e depois
Essas duas componentes não coincidem em geral, logo não há associatividade.
Portanto, axioma 2 falha.
Portanto, axioma 2 falha.
Passo 4
Procuramos um elemento neutro
tal que para todo
Pela definição,
deveria ser igual a
. Assim
para todo
. Isso não é possível pois a primeira equação exige
dependa de
.
Logo, não existe vetor zero: axioma 3 falha.
Logo, não existe vetor zero: axioma 3 falha.
Passo 5
Sem vetor zero não há como garantir que todo vetor tenha inverso aditivo.
Em particular, não dá para achar com
.
Logo, axioma 4 (inverso aditivo) também falha.
Em particular, não dá para achar
Logo, axioma 4 (inverso aditivo) também falha.
Passo 6
Verificamos agora o axioma da identidade escalar: deve valer
Mas
que só coincide com
se
e
para todo
, o que é impossível.
Portanto, axioma 8 (identidade escalar) falha.
Portanto, axioma 8 (identidade escalar) falha.
Resposta
As operações não satisfazem pelo menos os seguintes axiomas de espaço vetorial:
– Axioma 2 (associatividade da soma).
– Axioma 3 (existência do vetor zero).
– Axioma 4 (existência de inverso aditivo).
– Axioma 8 (identidade escalar ).
– Axioma 2 (associatividade da soma).
– Axioma 3 (existência do vetor zero).
– Axioma 4 (existência de inverso aditivo).
– Axioma 8 (identidade escalar