Questão 5 Seja V=\mathbb{R}^{2}. Mostre que V não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos seguintes pares de operações sobre V e diga em cada caso, quais dos 8 axiomas não se verificam:
\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(3 y_{1}+3 y_{2},-x_{1}-x_{2}\right) e \alpha\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(3 \alpha y_{1},-\alpha x_{1}\right).

Passo 1

Vamos organizar o que temos e o que precisamos provar. O conjunto é V=\mathbb{R}^2 e as operações estão definidas por
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=\bigl(3y_1+3y_2,\,-x_1-x_2\bigr),
\alpha\,(x_1,y_1)=\bigl(3\alpha\,y_1,\,-\alpha\,x_1\bigr).
Para ser espaço vetorial precisamos verificar 8 axiomas:
  1. Comutatividade da soma.
  2. Associação da soma.
  3. Existência de vetor zero.
  4. Existência de inverso aditivo.
  5. Distributividade de escalar sobre soma de vetores.
  6. Distributividade de soma de escalares sobre vetor.
  7. Associação de escalares \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v.
  8. Identidade escalar 1\cdot v=v.

Passo 2

Testamos a comutatividade da soma. Para quaisquer (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in V,
(x_1,y_1)+(x_2,y_2) =\bigl(3y_1+3y_2,\,-x_1-x_2\bigr)
e
(x_2,y_2)+(x_1,y_1) =\bigl(3y_2+3y_1,\,-x_2-x_1\bigr).
Como 3y_1+3y_2=3y_2+3y_1 e -x_1-x_2=-(x_2+x_1), a soma é comutativa.
Logo, axioma 1 vale.

Passo 3

Testamos a associação da soma. Seja ainda (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3).
Primeiro \bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr)+(x_3,y_3):
(x_1,y_1)+(x_2,y_2) =\bigl(3(y_1+y_2),\,-(x_1+x_2)\bigr),
então somar (x_3,y_3)
\bigl(3(y_1+y_2),\,-(x_1+x_2)\bigr)+(x_3,y_3) =\bigl(3[-(x_1+x_2)]+3y_3,\,-\,3(y_1+y_2)-x_3\bigr).
Por outro lado, (x_1,y_1)+\bigl((x_2,y_2)+(x_3,y_3)\bigr) gera
(x_2,y_2)+(x_3,y_3) =\bigl(3(y_2+y_3),\,-(x_2+x_3)\bigr)
e depois
(x_1,y_1)+\bigl(\dots\bigr) =\bigl(3y_1+3[-(x_2+x_3)],\,-x_1-3(y_2+y_3)\bigr).
Essas duas componentes não coincidem em geral, logo não há associatividade.
Portanto, axioma 2 falha.

Passo 4

Procuramos um elemento neutro e=(a,b) tal que para todo (x,y)
(x,y)+(a,b)=(x,y).
Pela definição,
(x,y)+(a,b)=\bigl(3y+3b,\,-x-a\bigr)
deveria ser igual a (x,y). Assim
3y+3b=x,\quad -x-a=y,
para todo x,y. Isso não é possível pois a primeira equação exige b dependa de x,y.
Logo, não existe vetor zero: axioma 3 falha.

Passo 5

Sem vetor zero não há como garantir que todo vetor tenha inverso aditivo.
Em particular, não dá para achar (u',v') com (x,y)+(u',v')=(\text{zero}).
Logo, axioma 4 (inverso aditivo) também falha.

Passo 6

Verificamos agora o axioma da identidade escalar: deve valer
1\cdot(x,y)=(x,y).
Mas
1\cdot(x,y)=\bigl(3\cdot1\cdot y,\,-1\cdot x\bigr)=(3y,\,-x),
que só coincide com (x,y) se 3y=x e -x=y para todo (x,y), o que é impossível.
Portanto, axioma 8 (identidade escalar) falha.

Resposta

As operações não satisfazem pelo menos os seguintes axiomas de espaço vetorial:
– Axioma 2 (associatividade da soma).
– Axioma 3 (existência do vetor zero).
– Axioma 4 (existência de inverso aditivo).
– Axioma 8 (identidade escalar 1\cdot v=v).

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