Questão 7 Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do \mathbb{R}^{3}.
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y=1\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x + y = 1\}
e pede para verificar se W é subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, basta ver se W satisfaz as três condições de subespaço: contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0,0) pertence a W. Se (0,0,0)\in W, então deve valer
0 + 0 = 1,
o que é falso, pois 0\neq1. Logo, (0,0,0)\notin W.

Passo 3

Como todo subespaço de \mathbb{R}^3 precisa conter o vetor zero e W não o contém, concluímos que W não é subespaço de \mathbb{R}^3.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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