Questão 7 Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do \mathbb{R}^{3}.
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; y=2 x\right. e \left.z=3 x\right\}.

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=2x \text{ e } z=3x\}
e pede para verificar se W é subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos checar três propriedades: presença do vetor zero, fechamentos sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero está em W.
O vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Substituindo x=0 temos y=2\cdot0=0 e z=3\cdot0=0. Logo
(0,0,0)\in W.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição.
Sejam \mathbf{u}=(x_1,2x_1,3x_1) e \mathbf{v}=(x_2,2x_2,3x_2) vetores quaisquer de W. Então
\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1+x_2,\;2x_1+2x_2,\;3x_1+3x_2) = (x_1+x_2,\;2(x_1+x_2),\;3(x_1+x_2)).
Como \mathbf{u}+\mathbf{v} também satisfaz y=2x e z=3x (com x=x_1+x_2), concluímos \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar.
Seja \mathbf{u}=(x,2x,3x)\in W e c\in\mathbb{R}. Então
c\,\mathbf{u} = (c\,x,\;c\cdot2x,\;c\cdot3x) = (cx,\;2(cx),\;3(cx)),
que satisfaz de novo y=2x e z=3x com x substituído por cx. Logo c\,\mathbf{u}\in W.

Resposta

W é subespaço de \mathbb{R}^3, pois contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar.

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