Questão 8 Seja P_{n}(\mathbb{R}) o espaço linear de todos os polinômios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais. Diga quais dos seguintes subconjuntos de P_{2}, com as operações usuais, são subespaços de P_{2}(\mathbb{R}).
W=\left\{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} \in P_{2}(\mathbb{R}) ; a_{2}-a_{1}+2 a_{0}=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = \bigl\{\,a_{0} + a_{1}t + a_{2}t^{2}\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid a_{2}-a_{1}+2a_{0}=0\bigr\}
é um subespaço de P_{2}(\mathbb{R}). O conteúdo aqui é a definição de subespaço: provar que W é não‐vazio e fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Definimos a aplicação linear
L\colon P_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}, \qquad L\bigl(a_{0} + a_{1}t + a_{2}t^{2}\bigr) = a_{2} \;-\; a_{1} \;+\; 2a_{0}.
Claramente, L é linear porque preserva soma e multiplicação por escalar em cada coeficiente.

Passo 3

Observamos que
W = \ker(L) = \{\,p\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid L(p)=0\}.
Pelo teorema básico de espaços lineares, o núcleo de uma transformação linear é sempre um subespaço do espaço de partida.

Resposta

W é subespaço de P_{2}(\mathbb{R}).

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